Loi du χ²

Soient X₁, ... , X_k, k variables aléatoires indépendantes suivant des lois normales de moyennes 0 et d'écart-type 1, alors par définition la variable X, telle que

${\displaystyle X:=\sum _{i=1}^{k}X_{i}^{2}}$

suit une loi du χ² à k degrés de liberté. On notera χ² (k) ou χ 2
k la loi de X.

La densité de probabilité de X notée f_X sera :

${\displaystyle f_{X}(x;k)={\frac {1}{2^{\frac {k}{2}}\Gamma ({\frac {k}{2}})}}x^{{\frac {k}{2}}-1}e^{-{\frac {x}{2}}}\,}$ pour tout x positif

où Γ est la fonction gamma[1].

Sa fonction de répartition sera :

${\displaystyle F(x;\,k)={\frac {\gamma ({\frac {k}{2}},\,{\frac {x}{2}})}{\Gamma ({\frac {k}{2}})}}}$où ${\displaystyle \gamma (s,t)}$ est la fonction gamma incomplète.

Conformément au théorème central limite, lorsque k est « grand » (k > 100), la loi d'une variable de χ², somme de variables aléatoires indépendantes, peut être approchée par une loi normale d'espérance k et de variance 2k.

D'autres fonctions en χ² peuvent converger plus rapidement vers la loi normale, notamment en ayant X~χ²(k) et k>30 :

• √2X - √2k-1 peut être approchée par une loi normale centrée réduite (Ronald Aylmer Fisher).
• ³√X/k peut être approchée par une loi normale de moyenne 1-2/9k et de variance 2/9k (Wilson et Hilferty, 1931[2]).

Cette loi est principalement utilisée dans le test du χ² basé sur la loi multinomiale pour vérifier l'adéquation d'une distribution empirique à une loi de probabilité donnée. Plus généralement elle s'applique dans le test d'hypothèses à certains seuils (indépendance notamment).

Elle est également utilisée pour établir des intervalles de confiance concernant la variance ou l'écart-type de variables aléatoires gaussiennes.

Soient X_i des variables aléatoires indépendantes suivant des lois normales d'espérance μ_i et de variance σ_i².

Différentes lois du χ et χ²

Lois	en fonction de variables de loi normale
loi du χ2	${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}$
Loi du χ2 non centrée	${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}$
Loi inverse-χ2	${\displaystyle \left[\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}\right]^{-1}}$
loi du χ	${\displaystyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}$
loi du χ non centrée	${\displaystyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}$

Si X est une variable aléatoire de loi normale centrée et réduite et Y suit une loi du χ² à n degrés de liberté, X et Y étant indépendantes, alors ${\displaystyle {\frac {X}{\sqrt {Y/n}}}}$ suit une loi de Student à n degrés de liberté.

Si X suit une loi du χ² à n degrés de liberté, et Y une loi du χ² à m degrés de liberté, et si X et Y sont indépendantes, alors ${\displaystyle {\frac {X/n}{Y/m}}}$ suit une loi de Fisher à n et m degrés de liberté.

Le tableau suivant fournit les valeurs de certains quantiles de la loi du χ² pour différents degrés de liberté k. Pour chaque valeur de α, le quantile donné est tel que la probabilité pour qu'une variable suivant une loi de χ² à k degrés de liberté lui soit inférieur est de 1 – α. Ainsi, pour 1 – α = 0,95 et k = 7, si X suit une loi de χ² à 7 degrés de liberté, on lit dans la table que ${\displaystyle \mathbb {P} (X\leqslant 14,07)=0,95.}$

Dans son ouvrage Décisions rationnelles dans l'incertain (1974), qui constitue une somme des techniques bayésiennes dont la grande émergence se fait à cette époque, le professeur Myron Tribus montre que le χ² constitue un exemple de passage à la limite du psi-test (test de plausibilité) bayésien lorsque le nombre de valeurs en présence devient grand - ce qui est la condition de travail des statistiques classiques, mais pas nécessairement des bayésiennes. Le raccord entre les deux disciplines, qui sont asymptotiquement convergentes, est ainsi complet.

L'ouvrage de référence de Jaynes en donne également une démonstration en page 287[3].

• H. O. Lancaster (1969) The Chi-squared Distribution, New York: Wiley.

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