Loi multinomiale

Les lois binomiales concernent le nombre de succès dans n épreuves de Bernoulli indépendantes donnant chacune un résultat binaire, comme dans le jeu de pile ou face. Les lois multinomiales (aussi appelée distributions polynomiales[1]) sont une généralisation de celles-ci, applicable par exemple à n jets d'un dé à six faces. Contrairement à ces exemples simples, les différentes possibilités ne sont généralement pas équiprobables.

Multinomiale ou polynomiale



Paramètres	$n>0$ nombre d'épreuves (entier) $p_{1},\ldots p_{m}$ probabilités des événements ( $\Sigma p_{i}=1$ )
Support	$N_{i}\in \{0,\dots ,n\}$ $\Sigma N_{i}=n\!$
Fonction de masse	${\frac {n!}{n_{1}!\cdots n_{m}!}}p_{1}^{n_{1}}\cdots p_{m}^{n_{m}}$
Espérance	$E\left[N_{i}\right]=np_{i}$
Variance	${\mathrm {Var} }(N_{i})=np_{i}(1-p_{i})$ ${\mathrm {Cov} }(N_{i},N_{j})=-np_{i}p_{j}$ ( $i\neq j$ )
Fonction génératrice des moments	$\left(\sum _{i=1}^{m}p_{i}e^{t_{i}}\right)^{n}$

Autre présentation de la loi binomiale

La fonction de probabilité d'une variable aléatoire binomiale $K$ qui s'écrit

\mathbb {P} (K=k)={\frac {n!}{k!(n-k)!}}p^{k}(1-p)^{n-k}

peut se réécrire de manière symétrique en faisant intervenir deux variables dont la somme est égale à $n$ :

N_{1}=K,\quad N_{2}=n-K,\quad p_{1}=p,\quad p_{2}=1-p

\mathbb {P} (N_{1}=n_{1},N_{2}=n_{2})={\frac {n!}{n_{1}!n_{2}!}}p_{1}^{n_{1}}p_{2}^{n_{2}}

Généralisation

Dans le cas multinomial à $m\,$ résultats possibles au lieu de 2, les variables deviennent $N_{i}\,$ , $i\in \{1,\ldots ,m\}\,$ et correspondent aux probabilités $p_{i}\,$ , $i\in \{1,\ldots ,m\}\,$ avec les contraintes

\sum _{i=1}^{m}n_{i}=n\quad \sum _{i=1}^{m}p_{i}=1

La fonction de probabilité s'écrit alors, sous la condition portant sur la somme des variables :

\mathbb {P} (N_{1}=n_{1},\ldots N_{m}=n_{m})={\frac {n!}{n_{1}!\ldots n_{m}!}}p_{1}^{n_{1}}\ldots p_{m}^{n_{m}}

Chacune des variables reste une variable binomiale dont la moyenne et la variance sont

\operatorname {E} (N_{i})=np_{i}\quad \operatorname {var} (N_{i})=np_{i}(1-p_{i})

tandis que les covariances s'écrivent

\operatorname {cov} (N_{i},N_{j})=-np_{i}p_{j}\,

Approximation

Lorsque la variable aléatoire $N i$ devient assez grande, le théorème central limite montre qu'elle est raisonnablement approchée par une variable normale à laquelle correspond la variable centrée réduite ${\frac {N_{i}-np_{i}}{\sqrt {np_{i}(1-p_{i})}}}$ .

Si ces variables étaient indépendantes, $\sum _{i=1}^{m}{\frac {(N_{i}-np_{i})^{2}}{np_{i}(1-p_{i})}}$ suivrait une loi du $χ 2$ à $m$ degrés de liberté.

Du fait de la contrainte linéaire qui s'applique, la variable $\sum _{i=1}^{m}{\frac {(N_{i}-np_{i})^{2}}{np_{i}}}$ suit une loi du $χ 2$ à $(m - 1)$ degrés de liberté. ^[pas clair]

Cette dernière remarque est à la base du test du χ².

Références

Statistiques théorique et appliquée, Pierre Dagnélie, Editions de Boeck, Bruxelles 2013

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[1] Statistiques théorique et appliquée, Pierre Dagnélie, Editions de Boeck, Bruxelles 2013