Fonction de masse (probabilités)

La loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète. Le support est composé des singletons {1}, {3} et {7} et les probabilités associées sont respectivement 0,20, 0,50 et 0,30. Un ensemble ne contenant pas ces points se voit attribuer une probabilité nulle.

Soit ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )}$ un espace probabilisé.

On appelle fonction masse de ${\displaystyle \mathbb {P} }$, et on note ${\displaystyle p}$, la fonction de ${\displaystyle \Omega }$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$ définie par :

${\displaystyle \forall \omega \in \Omega ,\ p(\omega )={\begin{cases}\mathbb {P} (\{\omega \})&{\text{si}}\ \{\omega \}\in {\mathcal {A}}\\0&{\text{si}}\ \{\omega \}\notin {\mathcal {A}}.\end{cases}}}$

Lorsque ${\displaystyle \mathbb {P} }$ est discrète, pour tout ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ :

${\displaystyle \mathbb {P} (A)=\sum _{\omega \in A\cap \Omega _{a}}p(\omega )=\sum _{\omega \in \Omega _{a}}p(\omega )\delta _{\omega }(A)}$

où ${\displaystyle \Omega _{a}\subset \Omega }$ est l'ensemble des atomes de ${\displaystyle \mathbb {P} }$ et ${\displaystyle \delta _{\omega }}$ la mesure de Dirac au point ${\displaystyle \omega }$.

Soit ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )}$ un espace probabilisé, ${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}})}$ un espace probabilisable et ${\displaystyle X:\Omega \longrightarrow Y}$ une variable aléatoire.

On appelle fonction masse de ${\displaystyle \mathbb {P} _{X}}$, et on note ${\displaystyle p_{X}}$, la fonction de ${\displaystyle Y}$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$ définie par :

${\displaystyle {\begin{aligned}\forall x\in Y,\ p_{X}(x)&={\begin{cases}\mathbb {P} _{X}(\{x\})&{\text{si}}\ \{x\}\in {\mathcal {B}}\\0&{\text{si}}\ \{x\}\notin {\mathcal {B}}\end{cases}}\\&={\begin{cases}\mathbb {P} _{X}(\{x\})&{\text{si}}\ x\in X(\Omega )\\0&{\text{si}}\ x\notin X(\Omega ).\end{cases}}\end{aligned}}}$

Lorsque ${\displaystyle X}$ est discrète, pour tout ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ :

${\displaystyle \mathbb {P} _{X}(B)=\sum _{x\in B\cap Y_{a}}p_{X}(x)=\sum _{x\in Y_{a}}p_{X}(x)\delta _{x}(A)}$

où ${\displaystyle Y_{a}\subset Y}$ est l'ensemble des atomes de ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle \delta _{x}}$ la mesure de Dirac au point ${\displaystyle \scriptstyle x}$.

Le théorème de transfert donne, pour toute fonction ${\displaystyle \varphi :Y\longrightarrow \mathbb {R} }$ :

${\displaystyle \mathbb {E} \left(\varphi (X)\right)=\sum _{x\in Y_{a}}\varphi (x)p_{X}(x).}$

Pour une loi continue, la fonction de masse est la fonction nulle donc elle n'est pas pertinente. Si une loi continue n'est pas singulière (c'est-à-dire si elle est absolument continue) on utilise sa densité de probabilité.

Soit ${\displaystyle X}$ une variable aléatoire identifiant le résultat d'un pile ou face à 0 pour pile et 1 pour face. On a :

• ${\displaystyle \Omega =\{\mathrm {pile} ,\mathrm {face} \}}$,
• ${\displaystyle Y=\mathbb {R} }$ (par exemple, l'important est que ${\displaystyle Y\supset X(\Omega )=\{0,1\}}$ puisque ${\displaystyle X:\Omega \longrightarrow Y}$),
• ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {P}}(\Omega )}$ (par exemple, l'important est que ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ soit une tribu sur ${\displaystyle \Omega }$ qui contienne au moins les événements physiquement possibles de l'expérience),
• ${\displaystyle {\mathcal {B}}={\mathcal {P}}(Y)}$ (par exemple, l'important est que ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ soit une tribu sur ${\displaystyle Y}$ qui contienne au moins l'image directe par ${\displaystyle X}$ des événements physiquement possibles).

Si on suppose que les événements ${\displaystyle \{\mathrm {pile} \}}$ et ${\displaystyle \{\mathrm {face} \}}$ ont la même probabilité, alors ${\displaystyle \mathbb {P} (\{\mathrm {pile} \})=\mathbb {P} (\{\mathrm {face} \})=0,5}$ (car ${\displaystyle \mathbb {P} (\Omega )=1}$) et par conséquent ${\displaystyle \mathbb {P} _{X}(\{x\})=0,5}$ pour tout ${\displaystyle x\in X(\Omega )}$.

Ainsi la fonction de masse de ${\displaystyle X}$ vaut :

${\displaystyle \forall x\in Y,\ p_{X}(x)={\begin{cases}0,5&{\text{si}}\ x\in X(\Omega ),\\0&{\text{si}}\ x\notin X(\Omega ).\end{cases}}}$

${\displaystyle X}$ est une variable aléatoire discrète, sa loi de probabilité associée ${\displaystyle \mathbb {P} _{X}}$ est la loi de Bernoulli de paramètre 0,5.

• Johnson, N.L., Kotz, S., Kemp A. (1993), Univariate Discrete Distributions (2nd Edition). Wiley. (ISBN 0-471-54897-9) (p. 36)

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