Mesure de Dirac

Une mesure de Dirac (ou masse de Dirac) est une mesure supportée par un singleton et de masse unitaire.

Soient un espace mesurable ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ et ${\displaystyle a\in X}$. On appelle mesure de Dirac au point ${\displaystyle a}$, et l'on note ${\displaystyle \delta _{a}}$, la mesure sur ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ définie par :

${\displaystyle \forall A\in {\mathcal {A}},\ \delta _{a}(A)=1_{A}(a)={\begin{cases}1&{\mbox{si }}a\in A\\0&{\mbox{si }}a\notin A\end{cases}}}$ où ${\displaystyle 1_{A}}$ désigne la fonction indicatrice de ${\displaystyle A}$.

• Le support de ${\displaystyle \delta _{a}}$ est réduit au singleton ${\displaystyle \{a\}}$.
• ${\displaystyle \delta _{a}(X)=1}$ donc cette mesure est une probabilité sur ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$.

Les mesures de Dirac ont une utilité pratique ; elles permettent par exemple de construire des mesures par approximations successives.^[pas clair]