Indice de réfraction

Courbe de l'indice de réfraction du silicium, n est la partie réelle, k la partie imaginaire de l'indice de réfraction.

La définition la plus répandue pour l'indice de réfraction est qu'il est la quantité résultant du rapport entre la vitesse de la lumière ${\displaystyle c}$ dans le vide, et la vitesse de phase ${\displaystyle V_{\varphi }}$ de la lumière dans ce milieu[10] :

$${\displaystyle n={\frac {c}{V_{\varphi }}}.}$$

Cette définition, simple, permet d'observer que l'indice de réfraction est très dépendant du milieu et de ses caractéristiques — isotrope, homogène, ou pas — et de la longueur d'onde de la lumière que l'on considère. La dépendance de l'indice de réfraction à la longueur d'onde implique l'effet de dispersion qui est à l'origine de plusieurs phénomènes d'optique comme les arcs-en-ciel, la dispersion des prismes ou encore les aberrations chromatiques.

Cette définition possède plusieurs défauts. D'une part, du fait que la vitesse de la lumière dans le vide est une limite supérieure à la vitesse de la lumière, on pourrait en déduire que l'indice de réfraction ne peut pas être inférieur à ${\displaystyle 1}$, ce qui est faux. La vitesse considérée ici est une vitesse de phase, qui elle n'est pas limitée par la vitesse de la lumière, elle caractérise en effet la phase de l'onde et non l'onde elle-même — qui, elle, est limitée par la vitesse de la lumière dans le vide. D'autre part, du fait qu'il est un rapport de vitesse, on pourrait croire que l'indice de réfraction ne peut prendre que des valeurs réelles, ce qui est aussi faux[11].

Une autre définition de l'indice de réfraction le lie à une autre caractéristique du milieu, la permittivité diélectrique ε définie par:

$${\displaystyle {\frac {\varepsilon }{\varepsilon _{0}}}=n^{2}}$$

où ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ est la permittivité diélectrique du vide[10]. Comme ${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon _{0}(1+\chi (\omega ))}$, on retrouve une dépendance à la fréquence et la possibilité d'avoir un indice complexe puisque ${\displaystyle n^{2}=1+\chi (\omega )}$[12]. Ici, ${\displaystyle \chi (\omega )}$ est la susceptibilité électrique, une caractéristique propre à chaque milieu pouvant prendre des valeurs réelles ou complexes. Elle permet de relier la polarisation d'un matériau ${\displaystyle {\vec {P}}}$ au champ électrique par la relation:[13]

$${\displaystyle {\vec {P}}=\varepsilon _{0}\chi (\omega ){\vec {E}}.}$$

Cette définition, valable pour les milieux non magnétiques[14], fait intervenir une caractéristique intrinsèque du milieu, qui permet de déterminer comment une onde lumineuse incidente va polariser le milieu considéré. La permittivité diélectrique comme la susceptibilité électrique sont des grandeurs réelles ou complexes et de ce fait, l'indice de réfraction peut avoir des valeurs complexes aussi. La partie complexe de l'indice de réfraction est liée à l'absorption du milieu et il existe ainsi un lien particulier entre la polarisation d'une onde lumineuse dans un milieu et l'atténuation de celui-ci[10]. Le coefficient d'absorption se déduit en effet de la partie imaginaire de l'indice de réfraction par la formule suivante[11] :

$${\displaystyle \alpha ={\frac {4\pi \Im (n)}{\lambda }}}$$

où ${\displaystyle \alpha }$ est l'atténuation, ${\displaystyle \lambda }$ la longueur d'onde et ${\displaystyle \Im (n)}$ est la partie imaginaire de l'indice de réfraction.

Seuls les milieux dilués, c'est-à-dire les gaz, présentent des caractéristiques qui permettent un calcul aisé avec peu d'approximations de l'indice de réfraction. Les milieux dilués ayant des molécules très espacées, il est en effet possible de négliger les interactions des charges entre elles et supposer que seule l'interaction entre les charges et le champ incident compte[15].

Si on note N le nombre de dipôles électriques auxquels sont assimilées les électrons des atomes du gaz. Les protons, trop lourds, ne sont pas mis en vibration par les ondes lumineuses et seuls les électrons interagissent, menant à cette approximation des dipôles électriques. On considère que l'indice est proche de 1 et que le champ résultant est la somme du champ incident et du champ généré par les dipôles oscillants qui est la solution d'une équation différentielle harmonique amortie.

L'indice dans un milieu dilué correspond à ${\displaystyle n=1+{\frac {Nq^{2}}{2\varepsilon _{0}m(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}+j\gamma \omega )}}}$, où :

• q est la charge de la particule mise en mouvement oscillant par le champ (le plus souvent donc la charge d'un électron) ;
• ε₀ la permittivité diélectrique du vide ;
• m la masse de la charge ;
• ω et ω₀ la fréquence de l'onde et la fréquence angulaire propre de l'électron pour l'atome : elle correspond à une des bandes d'absorption du matériau[16] ;
• γ est un coefficient phénoménologique correspondant à une dissipation d'énergie.

Acier: 2,5

Aluminium: 1,44

Bronze: 1,18

Cuivre: 1,1

Plomb: 2,1

À l'image de l'indice de réfraction calculé à partir de la vitesse de phase d'une onde monochromatique, on parle aussi d'indice de groupe pour l'indice de réfraction calculé à partir de la vitesse de groupe d'un paquet d'onde. Utilisé pour les impulsions courtes et les impulsions réelles qui ne sont jamais parfaitement monochromatiques, l'indice de groupe s'écrit comme suit[17]^,[W 1] :

$${\displaystyle n_{g}={\frac {c}{V_{g}}}=c{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \omega }}k={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \omega }}(\omega n(\omega ))=n(\omega )+\omega {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \omega }}n(\omega )}$$

L'indice de groupe est un des paramètres permettant de qualifier la dispersion temporelle d'un paquet d'onde dans une fibre optique par exemple[18].

Variation de l'indice de réfraction n en fonction de la longueur d'onde λ pour quelques verres flint et crown.

La valeur de l'indice dépend de la longueur d'onde du rayon lumineux incident. Ce phénomène appelé dispersion a été approché à l'aide de multiples formules empiriques mais il n'existe pas de formule précise permettant de déterminer l'indice en fonction de la longueur d'onde quel que soit le matériau.

La dispersion a pour effet que la réfraction est plus ou moins forte selon la longueur d'onde de la lumière, c'est ce qui provoque la décomposition de la lumière par un prisme mais aussi les aberrations chromatiques dans les instruments d'optique. Dans le premier cas le prisme ne réfracte pas toutes les couleurs de la lumière blanche au même angle, et la lumière qui sort est donc décomposée pour former le spectre visible. Dans le second cas, il s'agit du fait qu'un système optique est le plus souvent optimisé pour quelques longueurs d'onde particulières. Les pièces du système cependant dispersent la lumière et ainsi, le système ne sera pas parfaitement optimisé pour toutes les longueurs d'onde.

Étant donné cette dépendance, une convention répandue pour les milieux transparents dans le spectre visible veut que l'on donne l'indice de réfraction du milieu pour la longueur d'onde de la raie d du sodium (soit 587,56 nm), ou la raie e du mercure (à 546,07 nm)[W 2].

La variation de l'indice de réfraction d'un milieu transparent dans le spectre visible est appelée dispersion ; elle est caractérisée par le coefficient de dispersion ou nombre d'Abbe :

${\displaystyle \nu _{d}={\frac {n_{d}-1}{n_{F}-n_{C}}}}$

F et C désignant deux raies de l'hydrogène à respectivement 486,1 nm et 656,3 nm.

Plusieurs modèles de dispersion existent pour les milieux dans des domaines différents du spectre électromagnétique, notamment la formule de Cauchy :

${\displaystyle n=A+{\frac {B}{\lambda ^{2}}}+{\frac {C}{\lambda ^{4}}}}$

valable pour les matériaux dont les bandes d'absorption sont dans le domaine ultraviolet, la formule de Briot

${\displaystyle n=-A'\lambda ^{2}+A+{\frac {B}{\lambda ^{2}}}+{\frac {C}{\lambda ^{4}}}}$

pour les matériaux dont une bande d'absorption se trouve dans l'infrarouge et les autres dans l'ultraviolet (comme l'eau)[19], et enfin la formule de Sellmeier

${\displaystyle n^{2}=1+{\frac {B_{1}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{1}}}+{\frac {B_{2}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{2}}}+{\frac {B_{3}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{3}}}}$.

Ces lois empiriques déterminées grâce à des mesures très précises de la longueur d'onde s'appliquent aux milieux transparents à la lumière visible. Les modèles sont établis en considérant qu'étant loin des bandes d’absorption, il est possible de considérer l'indice comme réel (pas de facteur d'atténuation) et d'établir un développement limité de l'indice en fonction de la longueur d'onde. Ces formules sont précises en général à la cinquième décimale près[19].

La dispersion est intrinsèquement liée au principe de l'indice de réfraction, qui résulte de la polarisation des électrons d'un milieu par une onde incidente. Chaque onde possédant une longueur d'onde donnée et donc une énergie donnée, va de ce fait polariser plus ou moins fortement les électrons. Le milieu réagit alors différemment selon la longueur d'onde incidente.

L'indice de réfraction d'un gaz varie proportionnellement à sa masse volumique. Il suit la loi dite loi de Gladstone qui est :

${\displaystyle {\frac {(n-1)}{m_{V}}}={\text{constante}}}$[20].

Cette formule découle de la formule de Lorentz-Lorenz ou formule de Clausius-Mossotti, dont l'énoncé est ${\displaystyle {\frac {n^{2}-1}{n^{2}+2}}={\frac {N\alpha }{3\epsilon _{0}}}}$ où N est le nombre de molécule par unité de volume, α la polarisabilité d'une molécule et ${\displaystyle \epsilon _{0}}$ est la permittivité diélectrique du vide. Lorsque l'indice est très proche de 1 comme c'est le cas pour les gaz, il est possible d'en déduire que ${\displaystyle {\frac {(n-1)}{m_{V}}}={\text{constante}}}$ montrant une dépendance de l'indice de réfraction à la température et à la pression. La formule n'est valable que pour les gaz, mais les déductions quant à la dépendance de l'indice à la pression et la température peuvent s'étendre aux solides et aux liquides[21].

Certains matériaux n'ont pas un indice de réfraction isotrope : il dépend alors de la direction de propagation et de l'état de polarisation de la lumière.

Lorsque le matériau présente deux indices de réfraction différents selon deux axes la différence de ces indices est nommée biréfringence. On trouve ce genre de comportement dans les cristaux anisotropes mais aussi dans les verres optiques soumis à des contraintes particulières.

Les cristaux dit biaxes, à symétrie orthorhombique, monoclinique et triclinique possèdent trois indices de réfraction typiques, notés le plus souvent x, y et z ou α, β et γ, ou encore N_g (le plus grand), N_p (le plus petit), et N_m (intermédiaire). La représentation de l'indice de réfraction selon ses directions dans le cristal forme un ellipsoïde[22], dont les trois indices sont les axes orthogonaux.

Lorsque l'ellipsoïde possède deux axes de dimension identique, (c'est-à-dire que N_m est égal soit à N_g soit à N_p), il présente une symétrie de révolution autour de l'axe dit "axe optique", et le cristal est dit uniaxe. L'indice de réfraction est dit ordinaire, n_o, pour les rayons polarisés à 90° de l'axe optique du cristal, formant ainsi le rayon lumineux ordinaire, et l'indice est dit extraordinaire pour les rayons polarisés selon l'axe optique du cristal, n_e.

Il est par ailleurs possible d'engendrer de la biréfringence de manière artificielle, sans que le matériau possède des axes de symétrie particuliers. L'effet Kerr électrooptique va générer ainsi deux indices de réfraction, parallèle et perpendiculaire au champ électrique qui est imposé[23]. Les propriétés élasto-optiques des matériaux permettent aussi de décrire le comportement de la biréfringence induite par une contrainte mécanique : l'indice de réfraction est alors différent entre l'axe parallèle au vecteur de pression et le plan perpendiculaire à ce vecteur[24].

Une formulation de l'indice de l'air, valable sous certaines conditions définies, fut approuvée par la Commission conjointe pour la spectroscopie (Joint Commission for Spectroscopy) à Rome en septembre 1952, comme suit[26] :

${\displaystyle n_{\text{air}}(15^{\circ }{\rm {C}},p_{0})=1+10^{-8}\left(6432.8+{\frac {2949810\;{\rm {\mu m}}^{-2}\lambda ^{2}}{146\;{\rm {\mu m}}^{-2}\lambda ^{2}-1}}+{\frac {25540\;{\rm {\mu m}}^{-2}\lambda ^{2}}{41\;{\rm {\mu m}}^{-2}\lambda ^{2}-1}}\right)}$.

Cette formule est valable pour des longueurs d'onde allant de 0,2 µm à 1,35 µm (visible et infrarouge) dans de l'air sec contenant 0,03 % de CO₂ par volume à 15 °C et 101,325 kPa (soient 760 Torr).

Pour les hyperfréquences et les ondes radio, la composition de l'air est très importante. Dans l’ionosphère, les électrons libres ont un effet dispersant sur les ondes électromagnétiques. Dans la troposphère, la teneur en vapeur d'eau et eau liquide change grandement l'indice de réfraction. Le tout est modulé par la température et la pression. On définit ${\displaystyle \triangle n}$ comme le co-indice N pour ces fréquences. Il s'exprime ainsi ${\displaystyle N=(n-1)\times 10^{6}}$ car c'est l'ordre de variation de ${\displaystyle n}$ entre l'espace et la surface terrestre.

N est relié aux paramètres d'environnement par la formule expérimentale suivante[A 6]^,[28] :

${\displaystyle N=77{,}6\left({\frac {P}{T}}\right)+3{,}73\times 10^{5}\left({\frac {e}{T^{2}}}\right)+C{\frac {n_{e}}{f^{2}}}\qquad \qquad {\begin{cases}P={\text{pression exprimée en hPa}}\\T={\text{température absolue (K)}}\\e={\text{pression de vapeur d'eau contenue dans l'air (hPa)}}\\C=4{,}03\times 10^{-7}m^{-3}\times Hz^{2}\\*n_{e}={\text{densité électronique}}\\f={\text{fréquence du signal}}\end{cases}}}$

Le premier terme s'applique dans toute l'épaisseur de l'atmosphère, le second est important dans la troposphère et le troisième dans l'ionosphère. Il est donc possible de mesurer la variation de N quand on connaît n_e, P, e et T ; et vice versa. Cette formule est très utilisée dans le calcul du délai causé par l'atmosphère sur le signal d'un satellite dans le système de positionnement par satellites (GPS), dans celui du calcul du parcours d'un faisceau radar, dans l'utilisation d'un réfractomètre hyperfréquence et dans bien d'autres domaines.

On parle d'ultra-réfraction pour le phénomène ayant lieu dans un milieu dont l'indice est compris entre 0 et 1[A 7].

On parle de réfraction négative pour le phénomène ayant lieu dans un milieu dont l'indice est inférieur à 0[A 7].

Cette liste contient l'ensemble des sources utilisées comme référence. Leur lecture permet d'approfondir le sujet et détailler les méthodes et calculs de l'article.

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• (en) Association Internationale pour les propriétés de l'eau et de la vapeur
• (en) Base de données sur les indices de réfraction
• (en) Autre base de données sur les indices de réfraction
• (fr) Indices de réfraction de quelques polymères

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