Hypothèse de Riemann généralisée

Un caractère de Dirichlet est une fonction arithmétique complètement multiplicative χ pour laquelle il existe un entier naturel k > 0 tel que, pour tout entier n, on ait χ(n + k) = χ(n) et χ(n) = 0 si n n'est pas premier avec k.

On définit la fonction L de Dirichlet d'un tel caractère par :

${\displaystyle L(\chi ,s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}}$

pour tout nombre complexe s de partie réelle > 1. Par prolongement analytique, cette fonction peut être étendue à une fonction méromorphe définie sur tout le plan complexe.

L'énoncé de l'hypothèse de Riemann généralisée est le suivant[1] :

Pour tout caractère de Dirichlet χ, si s est un nombre complexe tel que L(χ, s) = 0 et si sa partie réelle est strictement comprise entre 0 et 1, alors elle vaut en fait 1/2.

Le cas du caractère trivial (χ(n) = 1 pour tout n) correspond à l'hypothèse de Riemann ordinaire.

• Soient a et d deux entiers naturels premiers entre eux, avec d non nul. D'après un théorème de Dirichlet, la progression arithmétique a, a + d, a + 2d, a + 3d… contient une infinité de nombres premiers. Notons π(x,a,d) le nombre de nombres premiers appartenant à cette progression et inférieurs ou égaux à x.
  Si l'hypothèse de Riemann généralisée est vraie alors, pour tout réel ε > 0 :${\displaystyle \pi (x,a,d)={\frac {1}{\varphi (d)}}\int _{2}^{x}{\frac {1}{\ln x}}\,{\rm {d}}x+O(x^{1/2+\varepsilon })\quad {\mbox{ lorsque }}\ x\to \infty }$où φ désigne la fonction indicatrice d'Euler et O le symbole de Landau. C'est une version beaucoup plus forte du théorème des nombres premiers, et de la version quantitative du théorème de la progression arithmétique.
• Si l'hypothèse de Riemann généralisée est vraie alors[2], pour tout entier n > 0, tout sous-groupe propre du groupe des inversibles modulo n évite au moins un entier compris entre 1 et 2(ln n)² et au moins un entier premier avec n et compris entre 1 et 3(ln n)² ; autrement dit : tout nombre composé m possède un témoin de non-primalité inférieur à 2(ln m)² et les inversibles modulo n sont engendrés par ceux inférieurs à 3(ln n)². Ces résultats sont souvent utilisés dans les démonstrations et ont de nombreuses conséquences. Par exemple :
  • si l'hypothèse de Riemann généralisée est vraie, alors le test de primalité de Solovay-Strassen[3] et le test de primalité de Miller-Rabin sont assurés d'être exécutés en temps polynomial (un test de primalité en temps polynomial qui ne requiert pas l'hypothèse de Riemann généralisée, le test de primalité AKS, a été publié en 2002).
• La conjecture faible de Goldbach découle aussi de l'hypothèse de Riemann généralisée.