Test de primalité AKS

L'algorithme détermine si un nombre est premier ou composé (au sens de la factorisation).

L'algorithme repose sur la généralisation suivante du petit théorème de Fermat : pour tout entier n ≥ 2 et tout entier a premier avec n,

n est un nombre premier si et seulement si ${\displaystyle (X+a)^{n}\equiv X^{n}+a\mod n,}$[4]

qui résulte d'une propriété des coefficients binomiaux :

n est un nombre premier si et seulement si ${\displaystyle \forall k\in \{1,\ldots ,n-1\},{n \choose k}\equiv 0\mod n.}$

L'objet d'AKS est d'exploiter efficacement cette propriété.

L'algorithme est globalement le suivant[4]:

procédure AKS(${\displaystyle n}$):
   Si ${\displaystyle n=a^{b}}$ avec ${\displaystyle a,b\in \mathbb {N} }$ et ${\displaystyle b>1}$ alors renvoyer non-premier
   Construire le plus petit entier ${\displaystyle r}$ tel que l'ordre de ${\displaystyle n}$ modulo ${\displaystyle r}$ soit supérieur à ${\displaystyle 4\log ^{2}n}$
   Si pgcd(${\displaystyle a,n}$) != 1 pour un certain ${\displaystyle a\leq r}$ alors renvoyer non-premier
   Si ${\displaystyle n\leq r}$ alors renvoyer premier
   Pour ${\displaystyle a}$ compris entre 1 et ${\displaystyle \left\lfloor 2{\sqrt {\varphi (r)}}\log n\right\rfloor }$ faire[note 1]:
        Si ${\displaystyle (X+a)^{n}\not \equiv X^{n}+a\mod (X^{r}-1)\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} [X]}$ alors renvoyer non-premier
   Renvoyer premier

La complexité temporelle originale est en ${\displaystyle O}$${\displaystyle (\log ^{12}n)}$. Il existe plusieurs variantes et raffinements de l'algorithme qui en affectent la complexité. La version décrite dans la section précédente a une complexité ${\displaystyle O(\log ^{10,5}n)}$, c'est-à-dire une complexité polynomiale en la taille de l'entrée[4]^,[note 2]. La complexité d'AKS est aussi affectée par le statut de diverses conjectures.

• Si la conjecture d'Artin sur les racines primitives est vraie, alors l'algorithme AKS a une complexité de l'ordre de ${\displaystyle O(\log ^{6}n)}$[4];
• Si la conjecture d'Agrawal (en) est vraie, alors la complexité d'AKS est de l'ordre de ${\displaystyle O(\log ^{3}n)}$[4].

• Crible d'Ératosthène : Test de primalité du IIIe siècle av. J.-C.
• Test de primalité de Fermat : Test probabiliste simple.
• Test de primalité de Solovay-Strassen : Test probabiliste inconditionnel.
• Test de primalité de Miller-Rabin : Test probabiliste inconditionnel, basé sur le test déterministe de G.L. Miller supposant l'hypothèse de Riemann généralisée.
• Test de primalité de Lucas-Lehmer : Non généraliste, il permet de tester la primalité de nombres particuliers.
• Conjecture d'Agrawal (en)

• TrigoFacile.com : Présentation et démonstration complète et détaillée de l'algorithme. [PDF]
• (en) Eric W. Weisstein, « AKS Primality Test », sur MathWorld
• (en) PRIMES Is in P: A Breakthrough for “Everyman” : Article de Folkmar Bornemann dans les Notices of the American Mathematical Society, sur la découverte publiée par les trois scientifiques indiens. [PDF]

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