Graphe zéro-symétrique

En théorie des graphes, un graphe zéro-symétrique est un graphe cubique tel que pour tout couple de sommets, il existe un unique automorphisme envoyant le premier sur le second[1]. On parle également de représentation graphique régulière cubique (GRR, pour Graphical Regular Representation) d'un groupe G lorsque le groupe des automorphismes du graphe zéro-symétrique est isomorphe à G[2].

Familles de graphes définies par leurs automorphismes
distance-transitif distance-régulier fortement régulier
symétrique (arc-transitif) t-transitif, (t  2) symétrique gauche (en)
(si connexe)
sommet-transitif et arête-transitif
régulier et arête-transitif arête-transitif
sommet-transitif régulier (si biparti)
birégulier
graphe de Cayley zéro-symétrique asymétrique

Propriétés

Le plus petit graphe zéro-symétrique, à 18 sommets et 27 arêtes.

Un graphe zéro-symétrique est sommet-transitif.

Le plus petit graphe zéro-symétrique possède 18 sommets et 27 arêtes ; il a pour notation LCF [-5,5]9.

Le cuboctaèdre tronqué et l'icosidodécaèdre tronqué sont des exemples de graphes zéro-symétriques planaires.

Notes et références

  1. (en) H. S. M. Coxeter, Roberto Frucht et David L. Powers, Zero-Symmetric Graphs: Trivalent Graphical Regular Representations of Groups, Academic Press, (ISBN 978-1-4832-6878-1, lire en ligne)
  2. (en) Lewis A. Nowitz et Mark E. Watkins, « Graphical Regular Representations of Non-Abelian Groups, I », Canadian Journal of Mathematics, vol. 24, no 6, , p. 993–1008 (ISSN 0008-414X et 1496-4279, DOI 10.4153/CJM-1972-101-5, lire en ligne, consulté le )
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