Graphe distance-régulier

En théorie des graphes, un graphe régulier est dit distance-régulier si pour tous sommets ${\displaystyle u,v}$ distants de ${\displaystyle k}$, et pour tous entiers naturels ${\displaystyle i,j}$, il y a toujours le même nombre de sommets qui sont à la fois à distance ${\displaystyle i}$ de ${\displaystyle u}$ et à distance ${\displaystyle j}$ de ${\displaystyle v}$.

De manière équivalente, un graphe est distance-régulier si pour tous sommets ${\displaystyle u,v\in V}$, le nombre de sommets voisins de ${\displaystyle u}$ à distance ${\displaystyle i}$ de ${\displaystyle v}$ et le nombre de sommets voisins de ${\displaystyle v}$ à distance ${\displaystyle j}$ de ${\displaystyle u}$ ne dépendent que de ${\displaystyle i,j}$ et de la distance ${\displaystyle d(u,v)}$ entre ${\displaystyle u}$ et ${\displaystyle v}$.

Formellement, ${\displaystyle \exists b_{i},c_{i}\in N,i=0...d}$ tels que ${\displaystyle b_{0}=0}$ et

${\displaystyle \forall i\geq 1,b_{i}=|N(v)\cap N_{i-1}(u)|,c_{i}=|N(v)\cap N_{i+1}(u)|}$

où ${\displaystyle N_{i}(u)}$ est l’ensemble des sommets à distance ${\displaystyle i}$ de ${\displaystyle u}$, et ${\displaystyle N(u)=N_{1}(u)}$. La séquence ${\displaystyle \{b_{1},b_{2},\dots ,b_{d};c_{1},c_{2},\dots ,c_{d}\}}$ forme un vecteur appelé vecteur d'intersection du graphe.