Graphe demi-transitif
En théorie des graphes, un graphe non-orienté est demi-transitif s'il est sommet-transitif et arête-transitif, mais pas symétrique. Autrement dit, un graphe est demi-transitif si son groupe d'automorphismes agit transitivement sur ses sommets et ses arêtes, mais pas sur ses arcs c'est-à-dire ses paires ordonnées de sommets adjacents[1].
| Familles de graphes définies par leurs automorphismes | ||||
|---|---|---|---|---|
| distance-transitif | → | distance-régulier | ← | fortement régulier |
| ↓ | ||||
| symétrique (arc-transitif) | ← | t-transitif, (t ≥ 2) | symétrique gauche (en) | |
| ↓ | ||||
| (si connexe) sommet-transitif et arête-transitif |
→ | régulier et arête-transitif | → | arête-transitif |
| ↓ | ↓ | ↓ | ||
| sommet-transitif | → | régulier | → | (si biparti) birégulier |
| ↑ | ||||
| graphe de Cayley | ← | zéro-symétrique | asymétrique | |
Propriétés
Un graphe sommet-transitif et arête-transitif de degré impair est arc-transitif[2]. Il n'existe donc pas de graphe demi-transitif de degré impair.
En revanche un graphe 2k-régulier demi-transitif peut être construit pour tout k⩾2[3].
Exemples
Le graphe de Doyle est le plus petit graphe demi-transitif.
Le plus petit graphe demi-transitif est le graphe de Holt (ou graphe de Doyle), un graphe 4-régulier à 27 sommets et 54 arêtes[1].
Notes et références
- (en) Ming-Yao Xu, « Half-Transitive Graphs of Prime-Cube Order », Journal of Algebraic Combinatorics, vol. 1, no 3, , p. 275–282 (ISSN 1572-9192, DOI 10.1023/A:1022440002282, lire en ligne, consulté le )
- (en) D Marušič et R Nedela, « Maps and Half-transitive Graphs of Valency 4 », European Journal of Combinatorics, vol. 19, no 3, , p. 345–354 (ISSN 0195-6698, DOI 10.1006/eujc.1998.0187, lire en ligne, consulté le )
- (en) I. Z. Bouwer, « Vertex and Edge Transitive, but not 1-Transitive, Graphs », Canadian Mathematical Bulletin, vol. 13, no 2, , p. 231–237 (ISSN 0008-4395 et 1496-4287, DOI 10.4153/CMB-1970-047-8, lire en ligne, consulté le )
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