Loi d'Erlang

La distribution d'Erlang est une loi de probabilité continue, dont l'intérêt est dû à sa relation avec les distributions exponentielle et Gamma. Cette distribution a été développée par Agner Krarup Erlang afin de modéliser le nombre d'appels téléphoniques simultanés.

Erlang

Densité de probabilité
Graphes de densités pour la distribution d'Erlang.


Fonction de répartition
Graphes de fonctions de répartition pour la distribution d'Erlang.

Paramètres Paramètre de forme (entier)
intensité (réel)
alt.: paramètre d'échelle (réel)
Support
Densité de probabilité
Fonction de répartition
Espérance
Médiane pas de forme simple
Mode pour
Variance
Asymétrie
Kurtosis normalisé
Entropie
Fonction génératrice des moments pour
Fonction caractéristique

Généralité

La distribution est continue et possède deux paramètres: le paramètre de forme , un entier, et le paramètre d'intensité , un réel. On utilise parfois une paramétrisation alternative, où on considère plutôt le paramètre d'échelle .

Lorsque le paramètre de forme vaut 1, la distribution se simplifie en la loi exponentielle.

La distribution d'Erlang est un cas spécial de la loi Gamma, où le paramètre de forme est un entier. Dans la loi Gamma, ce paramètre est réel positif supérieur ou égal à 1.

Caractérisation

Densité de probabilité

La densité de probabilité de la distribution d'Erlang est

Le paramètre est le paramètre de forme, et le paramètre d'intensité. Une paramétrisation équivalente met en jeu le paramètre d'échelle , défini comme l'inverse de l'intensité (c'est-à-dire ):

La présence de la factorielle implique que k doit être un entier naturel supérieur ou égal à 1.

Fonction de répartition

La fonction de répartition de la distribution d'Erlang est

est la fonction gamma incomplète. Cette fonction peut aussi s'écrire:

Occurrences

Processus de renouvellement

La distribution d'Erlang est la distribution de la somme de k variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées selon une loi exponentielle de paramètre . Si chacune de ces variables aléatoires représente le temps au bout duquel un événement donné se produit (par exemple, une intervention à la suite d'une panne sur un appareil sans usure et sans mémoire), alors la variable aléatoire au bout duquel le k-ème événement a lieu suit une loi d'Erlang de forme k et de paramètre .

Processus de Poisson

Si l'on se donne un instant t, on montre que la variable aléatoire égale au nombre d'entiers k tels que suit une loi de Poisson de paramètre [1]. Dans l'interprétation ci-dessus, est le nombre d'interventions effectuées avant l'instant t.

Voir aussi

Liens externes

Références

  1. Didier Dacunha-Castelle, Marie Duflo, Probabilités et statistiques, T.1, problèmes à temps fixe, Masson (1982)
  • Portail des probabilités et de la statistique
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