Différentielle

Le calcul différentiel, pour les fonctions d'une seule variable, se confond avec la dérivation. Soit f une fonction d'une variable réelle, à valeurs réelles ; on notera y = f(x) le résultat de l'application de f. Elle est dite dérivable en a lorsqu'il existe un réel, noté f'(a), tel que pour tout réel h on ait :

${\displaystyle f(a+h)=f(a)+f'(a)h+h\varepsilon (h)}$

où ε est une fonction ayant une limite nulle en 0. f'(a) est alors appelé nombre dérivé de f en a. On résume souvent cela par la notation (dite notation de Landau)

${\displaystyle f(a+h)=f(a)+f'(a)h+o(h).}$

Intuitivement ce calcul de limite, qui porte le nom de développement limité à l'ordre 1 pour la fonction f en a, signifie qu'en première approximation, pour h proche de 0, la valeur de f(a + h) est peu différente de celle de ${\displaystyle f(a)+f'(a)h}$. Notamment parmi les expressions affines (i. e. de la forme α + βh), c'est celle-ci qui donne la meilleure approximation de f(a + h).

Dans de nombreuses applications, des notations parlantes sont employées pour décrire cette situation. On convient de noter le nombre h par dx pour indiquer qu'il représente une très petite variation de x par rapport à la valeur de référence a. On note dy la variation de l'image par rapport à la valeur de référence :

${\displaystyle \mathrm {d} y=f(a+h)-f(a)\simeq f'(a)\mathrm {d} x.}$

Le point de vue couramment adopté (surtout en physique), abusif en toute rigueur[note 1], est que pour des variations suffisamment petites, on peut écrire ${\displaystyle \mathrm {d} y=f'(a)\mathrm {d} x}$. Cette présentation escamote en effet la nécessité d'utiliser un calcul de limite, car même pour des variations très petites, le terme d'erreur noté o(h) ci-dessus n'a pas de raison d'être nul. Mathématiquement parlant, il serait plus juste de noter cela

${\displaystyle \delta y\simeq f'(a)\delta x,}$

car les mathématiciens prouvent la formule exacte ${\displaystyle \mathrm {d} y=f'(a)\mathrm {d} x}$, en donnant aux notations dx et dy un sens précis qui n'est pas celui de petites variations et qui sera détaillé plus bas.

Soit f une fonction des deux variables x et y ; on notera z = f(x, y) le résultat de l'application de f.

De nouveau, la question posée peut être formulée ainsi : lorsque, par rapport à des valeurs de référence a et b, on augmente les variables x et y des quantités dx et dy, quel est l'effet (au premier ordre) sur la variable z ?

Les dérivées partielles permettent de répondre à la question lorsqu'une des deux variations est nulle. Ainsi, parce que c'est un simple calcul de dérivée de fonction d'une variable, il est possible d'écrire

${\displaystyle \mathrm {d} z_{a,b}=\mathrm {d} f_{a,b}={\frac {\partial f}{\partial x}}(a,b)\mathrm {d} x{\text{ lorsque }}\mathrm {d} y=0}$

et de même en inversant les rôles : si dx est nul, dz se calcule à l'aide de la deuxième dérivée partielle.

Il semblerait naturel que lorsqu'on augmente x et y respectivement des quantités infiniment petites dx et dy, l'augmentation totale soit obtenue en superposant les deux cas précédents

${\displaystyle \mathrm {d} z_{a,b}=\mathrm {d} f_{a,b}={\frac {\partial f}{\partial x}}(a,b)\mathrm {d} x+{\frac {\partial f}{\partial y}}(a,b)\mathrm {d} y}$

ce qu'en physique on énonce en général sous la forme : la différentielle « totale » est la somme des « différentielles partielles ».

On écrira par exemple : si ${\displaystyle z=x^{2}+xy}$ alors ${\displaystyle \mathrm {d} z=\mathrm {d} f=(2x+y)\,\mathrm {d} x+x\,\mathrm {d} y}$.

De fait, cette formule sera vérifiée dans de très nombreux calculs explicites ; mais elle n'est pas vraie en toute généralité.

Il faut détailler le raisonnement pour voir où il pèche : on peut faire subir d'abord une augmentation de dx à la seule variable x, ce qui la fait passer de la valeur a à a + dx, tandis que y reste égal à b. Puis, en maintenant x = a + dx constant, on fait passer y de b à b + dy. Les accroissements de z résultants sont donc plus précisément

${\displaystyle \mathrm {d} z_{1}={\frac {\partial f}{\partial x}}(a,b)\mathrm {d} x\qquad {\hbox{ et }}\qquad \mathrm {d} z_{2}={\frac {\partial f}{\partial y}}(a+\mathrm {d} x,b)\mathrm {d} y}$

et encore si cette deuxième quantité existe effectivement.

L'existence de dérivées partielles au seul point (a, b) est a priori insuffisant pour écrire une formule générale de calcul de dz. En revanche, si l'on suppose que les dérivées partielles sont définies et continues sur un voisinage de (a, b), on pourra effectivement affirmer que dz a la valeur attendue.

Étudions en premier lieu une fonction de deux variables, à valeurs réelles : on notera z = f(x, y). Cette fonction sera dite différentiable au point ${\displaystyle m}$ de coordonnées (x, y) s'il existe une formule de développement limité d'ordre 1 pour la fonction en ce point, c'est-à-dire

${\displaystyle f(x+h_{1},y+h_{2})=f(x,y)+\alpha h_{1}+\beta h_{2}+o\left({\sqrt {h_{1}^{2}+h_{2}^{2}}}\right)}$

avec α et β des coefficients réels, ou encore

${\displaystyle \lim _{(h_{1},h_{2})\to (0,0)}{\frac {f(x+h_{1},y+h_{2})-f(x,y)-\alpha h_{1}-\beta h_{2}}{\sqrt {h_{1}^{2}+h_{2}^{2}}}}=0.}$

La limite est à prendre au sens des limites de fonctions de deux variables.

Si la fonction est différentiable, on montre que les coefficients α et β sont bien les dérivées partielles de f. On peut alors écrire

${\displaystyle f(x+h_{1},y+h_{2})=f(m+{\vec {h}})=f(m)+L({\vec {h}})+o(\|{\vec {h}}\|)}$

avec l'expression suivante qui est linéaire en ${\displaystyle {\vec {h}}=(h_{1},h_{2})}$

${\displaystyle L({\vec {h}})={\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)h_{1}+{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)h_{2}.}$

L'application linéaire L est appelée différentielle de f au point m et peut se noter ${\displaystyle \mathrm {d} f(m)}$ ou bien ${\displaystyle \mathrm {d} f_{m}}$.

On peut reprendre l'interprétation intuitive de L. Si les variables subissent une petite modification ${\displaystyle \delta {\vec {\ell }}}$, l'effet sur la fonction est une modification ${\displaystyle \delta f=L(\delta {\vec {\ell }})}$, à condition de s'empresser d'ajouter : « du moins au premier ordre ».

Cette première notion se généralise aux fonctions de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$, en changeant simplement le nombre de variables, puis aux fonctions de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$ en admettant des coefficients vectoriels pour le développement limité. Une fonction ${\displaystyle {\vec {f}}}$ de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$ sera dite différentiable en a s'il existe un développement de la forme

${\displaystyle {\vec {f}}(a_{1}+h_{1},\dots ,a_{n}+h_{n})={\vec {f}}(a_{1},\dots ,a_{n})+h_{1}{\vec {\alpha _{1}}}+\dots +h_{n}{\vec {\alpha _{n}}}+o\left(\|{\vec {h}}\|\right)}$

avec ${\displaystyle \|{\vec {h}}\|}$ qui désigne la norme du vecteur de composantes ${\displaystyle (h_{1},...,h_{n})}$. Cette condition peut aussi s'écrire comme

${\displaystyle \lim _{{\vec {h}}\to {\vec {0}}}{\frac {{\vec {f}}(a_{1}+h_{1},\dots ,a_{n}+h_{n})-{\vec {f}}(a_{1},\dots ,a_{n})-h_{1}{\vec {\alpha _{1}}}-\dots -h_{n}{\vec {\alpha _{n}}}}{\|{\vec {h}}\|}}={\vec {0}}.}$

La limite est à prendre au sens des limites de fonctions de n variables. De nouveau, si la fonction est différentiable, on montre que les coefficients ${\displaystyle {\vec {\alpha _{1}}}}$ apparaissant dans ce développement sont les dérivées partielles de ${\displaystyle {\vec {f}}}$. On notera donc

${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {f}}(a)({\vec {h}})={\frac {\partial {\vec {f}}}{\partial x_{1}}}(a)h_{1}+\dots +{\frac {\partial {\vec {f}}}{\partial x_{n}}}(a)h_{n}.}$

Pour effectuer ce calcul il est judicieux d'introduire des représentations matricielles pour le vecteur ${\displaystyle {\vec {h}}}$ et l'application linéaire ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {f}}(a)}$ : c'est ce que l'on appelle la matrice jacobienne de l'application. C'est une matrice de dimension (n, p). Le calcul de ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {f}}(a)({\vec {h}})}$ peut aussi être présenté comme un calcul de produit scalaire du vecteur ${\displaystyle {\vec {h}}}$ avec le vecteur gradient de f au point a.

La différentiabilité de la fonction assure l'existence de dérivées partielles ; la réciproque est fausse : l'existence de dérivées partielles n'assure pas la différentiabilité de la fonction, ni même sa continuité.

Il existe cependant un résultat positif : si les dérivées partielles de f existent et sont continues, alors f est différentiable.

Si l'application f est linéaire, alors elle est différentiable en tout point a et df(a) = f. Ceci s'applique en particulier à chaque fonction coordonnée ℝⁿ → ℝ, x ↦ x_k — dont la dérivée en tout point a, dx_k(a) : h ↦ h_k, est simplement notée dx_k — et justifie la réécriture suivante de la différentielle de ${\displaystyle {\vec {f}}}$ en a :

${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {f}}(a)={\frac {\partial {\vec {f}}}{\partial x_{1}}}(a){\rm {d}}x_{1}+\dots +{\frac {\partial {\vec {f}}}{\partial x_{n}}}(a){\rm {d}}x_{n}.}$

En calcul infinitésimal, l'habitude est de noter ${\displaystyle \mathrm {d} f}$ des variations infinitésimales d'une fonction ${\displaystyle f}$. Ainsi, soient ${\displaystyle f}$, une fonction de ${\displaystyle {\vec {x}}=(x_{1},\dots ,x_{n})}$ et ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {x}}=(\mathrm {d} x_{1},\dots ,\mathrm {d} x_{n})}$ où les ${\displaystyle \mathrm {d} x_{i}}$ sont les composantes d'une variation infinitésimale de ${\displaystyle {\vec {x}}}$, alors la différentielle de ${\displaystyle f}$ au point ${\displaystyle {\vec {x}}}$ définit les variations infinitésimales de ${\displaystyle f}$ correspondant aux variations infinitésimales de ${\displaystyle {\vec {x}}}$, et s'écrit :

${\displaystyle \mathrm {d} f({\vec {x}})=\sum _{i}{\frac {\partial f({\vec {x}})}{\partial x_{i}}}\cdot \mathrm {d} x_{i}}$

ou, en notation tensorielle avec la convention de sommation d'Einstein

${\displaystyle \mathrm {d} f({\vec {x}})={\frac {\partial f({\vec {x}})}{\partial x_{i}}}\cdot \mathrm {d} x_{i}}$.

Pour bien comprendre cette formule, il faut comprendre que l'accroissement infinitésimal ${\displaystyle \partial f}$ est lié aux accroissements infinitésimaux ${\displaystyle \partial x_{i}}$ par les dérivées partielles qui sont indépendantes les unes des autres, et que par contre, on calcule la relation entre ${\displaystyle \mathrm {d} f({\vec {x}})}$ et les ${\displaystyle \mathrm {d} x_{i}}$ qui sont, eux, liés entre eux par la direction dans laquelle on fait varier ${\displaystyle {\vec {x}}}$.

Plus généralement, il est possible de définir la notion de différentiabilité et de différentielle sans avoir recours à des bases.

Soient E un espace vectoriel normé, F un espace vectoriel topologique séparé, f une application de E dans F et a un point de E. On abandonne la notation des vecteurs par des flèches dans ce paragraphe.

On dit que f est différentiable en a (au sens de Fréchet) s'il existe une application linéaire continue L : E → F telle que :

${\displaystyle \forall h\in E\quad f(a+h)=f(a)+L(h)+o\left(\|h\|\right)}$

ou, de manière équivalente :

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)-L(h)}{\|h\|}}=0.}$

Une telle application linéaire L est alors unique[note 2]. Elle est appelée différentielle de f en a et se note ${\displaystyle L=\mathrm {d} f(a)}$. De plus, sa continuité assure la continuité en a de f.

La différentiabilité dépend de la norme choisie sur E ; on retrouve, cela dit, la définition usuelle en dimension finie (voir supra) puisque toutes les normes y sont équivalentes. Notons que pour ${\displaystyle h\in E}$ fixé, l'application ${\displaystyle Df(.)(h):E\to F:a\mapsto \mathrm {d} f(a)(h)}$ n'a aucune raison d'être linéaire. Par exemple pour ${\displaystyle E=F=\mathbb {R} }$, ${\displaystyle f=\sin }$ et ${\displaystyle h=1}$, on a ${\displaystyle Df(.)(h)=\cos }$.

On peut remarquer le changement sémantique entre la première définition, celle de Leibniz – un accroissement très petit –, et celle formalisée de nos jours – une application linéaire. Ce changement est l'aboutissement d'une évolution de plus de trois siècles entre une idée intuitive du calcul infinitésimal et sa formalisation.

Si y = f(x), si f est dérivable sur I, alors ${\displaystyle \mathrm {d} f=f'(x)\mathrm {d} x}$. Si de plus, f' est dérivable, df est différentiable et

${\displaystyle \mathrm {d} ^{2}f=f''(x)\;\mathrm {d} x\;\mathrm {d} x}$. Cette quantité s'appelle la différentielle d'ordre 2 de f.

Plus généralement, si f est n fois dérivable sur I, on appelle différentielle d'ordre n sur I, l'expression

${\displaystyle \mathrm {d} ^{n}f=f^{(n)}(x)(\mathrm {d} x)^{n}.}$

Si f est une fonction différentiable sur I (ouvert de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$), alors ${\displaystyle \mathrm {d} f={\tfrac {\partial f}{\partial x}}\mathrm {d} x+{\tfrac {\partial f}{\partial y}}\mathrm {d} y}$, chacune des fonctions ${\displaystyle {\tfrac {\partial f}{\partial x}}}$ et ${\displaystyle {\tfrac {\partial f}{\partial y}}}$ est elle-même une fonction de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Si elles sont de classe C¹ (c'est-à-dire différentiables de différentielle continue) alors df est aussi différentiable et

${\displaystyle \mathrm {d} ^{2}f=\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial x}}\mathrm {d} x+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}\mathrm {d} y\right)\mathrm {d} x+\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}\mathrm {d} x+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial y}}\mathrm {d} y\right)\mathrm {d} y.}$

Comme les différentielles sont continues, le théorème de Schwarz permet de dire que :

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}}$

ce qui permet d'écrire la différentielle d'ordre 2 de f sous la forme suivante :

${\displaystyle \mathrm {d} ^{2}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial x}}(\mathrm {d} x)^{2}+2{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}\mathrm {d} x\;\mathrm {d} y+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial y}}(\mathrm {d} y)^{2}=\left({\frac {\partial }{\partial x}}\mathrm {d} x+{\frac {\partial }{\partial y}}\mathrm {d} y\right)^{2}f}$

où ${\displaystyle {\bigl (}{\tfrac {\partial }{\partial x}}\mathrm {d} x+{\tfrac {\partial }{\partial y}}\mathrm {d} y{\bigr )}}$ devient un opérateur agissant sur f.

Plus généralement, si f est de classe Cⁿ alors (formellement, dans l'algèbre des opérateurs)

${\displaystyle \mathrm {d} ^{n}f=\left({\frac {\partial }{\partial x}}\mathrm {d} x+{\frac {\partial }{\partial y}}\mathrm {d} y\right)^{n}f.}$

On considère deux espaces vectoriels normés E et F, U un ouvert de E et f : U → F.

On dit que f est deux fois différentiable en ${\displaystyle a\in U}$ si :

1. f est différentiable en a (de différentielle ${\displaystyle f'(a)\in {\mathcal {L}}(E,F)}$)
2. l'application ${\displaystyle f':U\to {\mathcal {L}}(E,F)}$ est différentiable en a (au sens de la métrique induite sur ${\displaystyle {\mathcal {L}}(E,F)}$).

L'application dérivée seconde est donc une fonction ${\displaystyle f'':U\to {\mathcal {L}}(E,{\mathcal {L}}(E,F))}$ et la différentielle seconde en a est l'application ${\displaystyle f''(a)\in {\mathcal {L}}(E,{\mathcal {L}}(E,F))}$. Mais intéressons-nous de plus près à ${\displaystyle f''(a)}$. Il s'agit d'une application linéaire continue ${\displaystyle f''(a):E\to {\mathcal {L}}(E,F)}$. De même, une fois choisi ${\displaystyle x\in E}$ l'application ${\displaystyle f''(a)x:E\to F}$ est linéaire continue.

L'application ${\displaystyle f''(a)}$ peut donc être interprétée comme l'application bilinéaire continue ${\displaystyle f''(a):E\times E\to F,\,(x,y)\mapsto ((f')'(a)x)y.}$ D'après le théorème de Schwarz, elle est de plus symétrique.

De manière générale, on définit la différentielle d'ordre n de f en a comme l'application n-linéaire symétrique continue ${\displaystyle f^{(n)}(a):E^{n}\to F,\,(x_{1},...,x_{n})\mapsto (...((f^{(n)}(a)x_{1})x_{2})...)x_{n}.}$