Règle du produit

Une preuve de la règle du produit peut être donnée en utilisant les propriétés des limites et la définition de la dérivée comme limite du taux d'accroissement[1].

Figure 1. Illustration géométrique de la règle du produit.

Soient ${\displaystyle f}$ et ${\displaystyle g}$ deux fonctions dérivables en ${\displaystyle x}$. Définissant ${\displaystyle u=f(x)}$  et  ${\displaystyle v=g(x)}$, l'aire ${\displaystyle uv}$ du rectangle (cf. Figure 1) représente ${\displaystyle f(x)g(x)}$.

Si ${\displaystyle x}$ varie d'une quantité ${\displaystyle \Delta x}$, les variations correspondantes en ${\displaystyle u}$ et ${\displaystyle v}$ sont désignées par ${\displaystyle \Delta u}$ et ${\displaystyle \Delta v}$.

La variation de l'aire du rectangle est alors :

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta (uv)&=(u+\Delta u)(v+\Delta v)-uv\\&=(\Delta u)v+u(\Delta v)+(\Delta u)(\Delta v),\end{aligned}}}$

c'est-à-dire la somme des trois zones ombrées sur la Figure 1 ci-contre.

En divisant par ${\displaystyle \Delta x}$ :

${\displaystyle {\frac {\Delta (uv)}{\Delta x}}=\left({\frac {\Delta u}{\Delta x}}\right)v+u\left({\frac {\Delta v}{\Delta x}}\right)+\left({\frac {\Delta u}{\Delta x}}\right)\left({\frac {\Delta v}{\Delta x}}\right)\Delta x.}$

En prenant la limite quand ${\displaystyle \Delta x\rightarrow 0}$, on obtient :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(uv)=\left({\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}\right)v+u\left({\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}\right).}$

Soient ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{n}}$ des fonctions dérivables en ${\displaystyle x}$, on a alors :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\prod _{i=1}^{n}f_{i}(x)=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f_{i}(x)\prod _{j\neq i}f_{j}(x)\right)}$

Cette relation peut être démontrée par récurrence.

La règle du produit peut aussi être généralisée en la règle de Leibniz pour la dérivation d'ordre supérieur d'un produit de deux fonctions d'une variable réelle.

Soient ${\displaystyle n}$ un entier supérieur ou égal à 1, et ${\displaystyle f}$ et ${\displaystyle g}$ deux fonctions ${\displaystyle n}$ fois dérivables en un certain point ${\displaystyle x}$, alors leur produit ${\displaystyle fg}$ est aussi ${\displaystyle n}$ fois dérivable au point ${\displaystyle x}$, et la dérivée d'ordre ${\displaystyle n}$ est donnée par :

${\displaystyle (fg)^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\ f^{(n-k)}(x)\ g^{(k)}(x)}$

où les nombres entiers ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ sont les coefficients binomiaux, et où l'on convient que la « dérivée zéro-ième » de ${\displaystyle f}$, notée ${\displaystyle f^{(0)}}$, est la fonction ${\displaystyle f}$ elle-même.

Cette formule se démontre par récurrence sur ${\displaystyle n}$[2]. La démonstration est comparable à celle de la formule du binôme de Newton. Cette dernière peut d'ailleurs se déduire de la formule de Leibniz, appliquée à ${\displaystyle f(x)=\exp(ax)}$ et ${\displaystyle g(x)=\exp(bx)}$.^{[réf. nécessaire]}

On peut aussi démontrer la formule de Leibniz en utilisant un développement de Taylor-Young.

La formule suivante généralise simultanément les deux précédentes :

${\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{m}f_{i}\right)^{(n)}=\sum _{k_{1}+\dots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},\dots ,k_{m}}\prod _{i=1}^{m}f_{i}^{(k_{i})}}$,

où les entiers

${\displaystyle {n \choose k_{1},\dots ,k_{m}}={\frac {n!}{\prod _{i=1}^{m}k_{i}!}}}$

sont les coefficients multinomiaux. La preuve peut se faire par récurrence sur m, le nombre de fonctions considérées, en utilisant la formule (qui se réduit à la formule de Leibniz) au rang m=2.

La règle du produit s'étend à des fonctions de plusieurs variables réelles (définies sur ℝⁿ) ou plus généralement, des fonctions dont la variable est un vecteur :

Soient E un espace vectoriel normé et f, g : E → ℝ deux fonctions différentiables en un point x de E. Alors, le produit f g est différentiable en x et sa différentielle en ce point est la forme linéaire continue

${\displaystyle D_{x}(fg):E\to \mathbb {R} ,\quad h\mapsto D_{x}f(h)\,g(x)+f(x)\,D_{x}g(h).}$

On dispose de résultats analogues pour les dérivées directionnelles et les dérivées partielles.

Par le même calcul que ci-dessus mais en remplaçant la variable réelle par une variable complexe, on démontre la règle suivante pour un produit de fonctions holomorphes.

Soient U un ouvert de ℂ et f, g : U → ℂ des fonctions holomorphes. Alors, le produit f g est holomorphe et :

${\displaystyle (fg)'=f'g+fg'.}$

On peut aussi le déduire de la sous-section précédente (pour E = ℂ) et des équations de Cauchy-Riemann.

Si l'on regarde de près la démonstration de la règle du produit, on se rend compte que l'ingrédient principal, outre la dérivabilité des fonctions, est la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition (le fait que a(b + c) = ab + ac). Or les mathématiciens ont pris l'habitude de n'appeler produit que les opérations bénéficiant de cette propriété. Par contre tous les produits ne sont pas commutatifs (ab = ba quand a et b sont des nombres, mais ce n'est pas vrai pour d'autres produits). On peut donc en toute confiance appliquer la règle du produit à d'autres produits d'autres fonctions que la multiplication de fonctions numériques, mais en prenant garde de bien conserver l'ordre des facteurs quand le produit n'est pas commutatif.

De même que dans le § « Dimensions supérieures », on peut, dans tous ces exemples, remplacer la variable réelle (« temps ») par une variable vectorielle.

Soient X, Y et Z des espaces vectoriels normés, et B : X×Y → Z une application bilinéaire continue. Alors, B est différentiable et sa différentielle en un point (x, y) de X×Y est l'application linéaire continue :

${\displaystyle D_{(x,y)}B:X\times Y\rightarrow Z,\quad (h,k)\mapsto B\left(h,y\right)+B\left(x,k\right).}$

Par composition avec un couple de fonctions (u, v) : T → X×Y définies sur un espace vectoriel normé T, on en déduit la forme générique des exemples ci-dessus :

Si u et v sont différentiables en un point t₀ de T alors la composée

${\displaystyle B\circ (u,v):T\to Z,\quad t\mapsto B(u(t),v(t))}$

l'est aussi, et sa différentielle en ce point est :

${\displaystyle D_{t_{0}}\left(B\circ (u,v)\right):T\to Z,\quad \ell \mapsto B\left(D_{t_{0}}u(\ell ),v(t_{0})\right)+B\left(u(t_{0}),D_{t_{0}}v(\ell )\right).}$