Identités vectorielles

Dans cet article, on note $\times$ pour le produit vectoriel et · pour le produit scalaire.

Les identités suivantes peuvent être utiles en analyse vectorielle.

$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )$
$\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {c} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {a} =\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )$
$(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} )-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )$ (Identité de Binet-Cauchy)
$\nabla \times (\nabla \psi )=\mathbf {0}$
$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {V} )=0$
$\nabla \times (\nabla \times \mathbf {V} )=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {V} )-\nabla ^{2}\mathbf {V}$
$\nabla (\psi \phi )=(\nabla \psi )\phi +(\nabla \phi )\psi$
$\nabla \cdot (\psi \mathbf {V} )=(\nabla \psi )\cdot \mathbf {V} +(\nabla \cdot \mathbf {V} )\psi$
$\nabla \times (\psi \mathbf {V} )=(\nabla \psi )\times \mathbf {V} +(\nabla \times \mathbf {V} )\psi$
$\nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} +(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} +\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} )+\mathbf {B} \times (\nabla \times \mathbf {A} )$
$\nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )=(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )$
$\nabla \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )=(\nabla \cdot \mathbf {B} )\mathbf {A} -(\nabla \cdot \mathbf {A} )\mathbf {B} +(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} -(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B}$
$(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} -(\mathbf {A} \times \nabla )\times \mathbf {B} =(\nabla \cdot \mathbf {B} )\mathbf {A} -\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} )$
$\nabla (\mathbf {V} ^{2}/2)=(\mathbf {V} \cdot \mathbf {\nabla } )\mathbf {V} +\mathbf {V} \times (\nabla \times \mathbf {V} )$
$\nabla (\mathbf {V} ^{2}/2)=(\nabla \cdot \mathbf {V} )\mathbf {V} +(\mathbf {V} \times \nabla )\times \mathbf {V}$

Identités vectorielles générales

Dans cette section, a, b, c et d représentent des vecteurs quelconques de $\mathbb {R} ^{n}$ .

Conventions d'écriture

Dans cet article, les conventions suivantes sont utilisées; à noter que la position (levée ou abaissée) des indices n'a pas, ici, beaucoup d'importance étant donné que l'on travaille dans un contexte euclidien. Cela permet néanmoins de retrouver plus directement les couplages (un indice supérieur s'associant avec un indice inférieur).

Produit scalaire

Le produit scalaire de deux vecteurs a et b est noté

\mathbf {a} \cdot \mathbf {b}

En convention de sommation d'Einstein cela s'écrit :

\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{i}b^{i}=a^{i}b_{i}

Produit vectoriel

Le produit vectoriel de deux vecteurs a et b est noté

\mathbf {a} \times \mathbf {b}

En convention de sommation d'Einstein cela s'écrit :

(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )_{i}={\epsilon _{i}}^{jk}a_{j}b_{k}

Symbole de Levi-Civita

Une identité revenant souvent dans les démonstrations utilisant la convention de sommation d'Einstein est la suivante :

{\epsilon _{ij}}^{k}{\epsilon _{k}}^{lm}=\delta _{i}^{l}\delta _{j}^{m}-\delta _{i}^{m}\delta _{j}^{l}

Avec $\delta$ le symbole de Kronecker.

Triples produits

On a le résultat suivant sur le produit mixte :

$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )$

Démonstration

En convention de sommation d'Einstein on a :

\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=a_{i}{\epsilon ^{i}}_{jk}b^{j}c^{k}

En permutant deux fois les indices du symbole de Levi-Civita et en réarrangeant les termes on obtient tour à tour les expressions équivalentes suivantes :

Premièrement :

b^{j}{\epsilon _{jk}}^{i}c^{k}a_{i}=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )

Deuxièmement :

c^{k}{{\epsilon _{k}}^{i}}_{j}a_{i}b^{j}=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )

L'identité est ainsi démontrée.

L'identité du double produit vectoriel :

$\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {c} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {a} =\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )$

La première égalité découle des propriétés du produit vectoriel : $(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=-(\mathbf {b} \times \mathbf {a} )$ . La seconde est démontrée ci-dessous.

Démonstration

En convention de sommation d'Einstein on a :

(\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ))_{i}={\epsilon _{i}}^{jk}a_{j}{\epsilon _{k}}^{lm}b_{l}c_{m}

En utilisant les propriétés du symbole de Levi-Civita et du symbole de Kronecker, le membre de droite peut se réécrire comme suit :

\delta _{i}^{l}\delta ^{jm}a_{j}b_{l}c_{m}-\delta _{i}^{m}\delta ^{jl}a_{j}b_{l}c_{m}=b_{i}a_{j}c^{j}-c_{i}a_{j}b^{j}

En explicitant le membre de droite on retrouve l'identité :

(\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ))_{i}=b_{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-c_{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )

Autres produits

L'identité de Binet-Cauchy :

(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} )-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )

à noter que l'on retrouve l'identité de Lagrange si a=c et si b=d.

Démonstration

En convention de sommation d'Einstein on a :

(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )={\epsilon _{i}}^{jk}a_{j}b_{k}{\epsilon ^{i}}_{lm}c^{l}d^{m}

En utilisant les propriétés du symbole de Levi-Civita et du symbole de Kronecker, le membre de droite peut se réécrire comme suit :

\delta _{l}^{j}\delta _{m}^{k}a_{j}b_{k}c^{l}d^{m}-\delta _{m}^{j}\delta _{l}^{k}a_{j}b_{k}c^{l}d^{m}=a_{l}c^{l}b_{k}d^{k}-a_{j}d^{j}b_{k}c^{k}

Le second membre étant obtenu en simplifiant et réarrangeant les termes. On retrouve dans ce membre de droite l'expression de produits scalaires et on a finalement :

(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} )-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )

Opérateurs

Cette section fournit une liste explicite de la signification des symboles utilisés pour plus de clarté.

Divergence d'un champ vectoriel

Pour un champ vectoriel $\mathbf {V}$ , on écrit généralement la divergence comme suit :

\operatorname {\mathbf {div} } (\mathbf {V} )=\nabla \cdot \mathbf {V}

C'est un champ scalaire.

En convention de sommation d'Einstein la divergence d'un champ vectoriel s'écrit :

\nabla \cdot \mathbf {V} =\partial _{i}V^{i}

Divergence d'un tenseur

Pour un tenseur ${\stackrel {\mathbf {\mathfrak {T}} }{}}$ , on écrit généralement la divergence comme suit :

\operatorname {\mathbf {div} } (\mathbf {\mathfrak {T}} )=\nabla \cdot \mathbf {\mathfrak {T}}

Comme la divergence réduit de 1 l'ordre du tenseur, si ${\stackrel {\mathbf {\mathfrak {T}} }{}}$ est d'ordre 2 on aurait un vecteur qui est un tenseur d'ordre 1.

Rotationnel

Pour un champ vectoriel $\mathbf {V}$ , on écrit généralement le rotationnel comme suit :

\operatorname {\mathbf {rot} } (\mathbf {V} )=\nabla \times \mathbf {V}

C'est un champ vectoriel.

En convention de sommation d'Einstein le rotationnel d'un champ vectoriel s'écrit :

(\nabla \times \mathbf {V} )_{i}={\epsilon _{i}}^{jk}\partial _{j}V_{k}

Gradient d'un champ vectoriel

Pour un champ vectoriel $\mathbf {V}$ , on écrit généralement le gradient comme suit :

\operatorname {\mathbf {grad} } (\mathbf {V} )=\nabla \mathbf {V}

C'est un tenseur.

Gradient d'un champ scalaire

Pour un champ scalaire $\psi$ , on écrit généralement le gradient comme suit :

\operatorname {\mathbf {grad} } (\psi )=\nabla \psi

C'est un vecteur.

En convention de sommation d'Einstein le gradient d'un champ scalaire s'écrit :

(\nabla \psi )_{i}=\partial _{i}\psi

Combinaisons d'opérateurs

Rotationnel du gradient

Le rotationnel du gradient de n'importe quel champ scalaire $\psi$ est toujours nul :

\nabla \times (\nabla \psi )=\mathbf {0}

Démonstration

En convention de sommation d'Einstein on a :

\left(\nabla \times (\nabla \psi )\right)_{i}={\epsilon _{i}}^{jk}\partial _{j}\partial _{k}\psi

En permutant les indices j et k (permutation impaire) on obtient l'expression équivalente :

{-\epsilon _{i}}^{kj}\partial _{k}\partial _{j}\psi =-\left(\nabla \times (\nabla \psi )\right)_{i}

Le changement de signe provient de la permutation impaire des indices. On a donc finalement :

\left(\nabla \times (\nabla \psi )\right)_{i}=-\left(\nabla \times (\nabla \psi )\right)_{i}\Leftrightarrow \left(\nabla \times (\nabla \psi )\right)_{i}=0

L'identité est ainsi démontrée.

Divergence du rotationnel

La divergence du rotationnel de n'importe quel champ vectoriel $\mathbf {V}$ est toujours nulle :

\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {V} )=0

Démonstration

En convention de sommation d'Einstein on a :

\left(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {V} )\right)_{i}=\partial _{i}{\epsilon ^{i}}_{jk}\partial ^{j}V^{k}

En permutant les indices i et j (permutation impaire) on obtient l'expression équivalente :

-\partial ^{j}{{\epsilon _{j}}^{i}}_{k}\partial _{i}V^{k}=-\left(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {V} )\right)_{i}

Le changement de signe provient de la permutation impaire des indices. On a donc finalement :

\left(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {V} )\right)_{i}=-\left(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {V} )\right)_{i}\Leftrightarrow \left(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {V} )\right)_{i}=0

L'identité est ainsi démontrée.

Laplacien d'un champ scalaire

Le Laplacien d'un champ scalaire $\psi$ est défini comme la divergence du gradient :

\nabla \cdot (\nabla \psi )=\nabla ^{2}\psi

C'est un champ scalaire.

En convention de sommation d'Einstein, le Laplacien d'un champ scalaire se note comme suit :

\nabla ^{2}\psi =\partial _{i}\partial ^{i}\psi

Laplacien d'un champ vectoriel

Le Laplacien vectoriel d'un champ vectoriel est le vecteur dont les composantes sont les laplacien des composantes.

En convention de sommation d'Einstein cela se note :

(\nabla ^{2}\mathbf {V} )_{i}=\nabla ^{2}(V_{i})=\partial _{j}\partial ^{j}(V_{i})

Rotationnel du rotationnel

Le rotationnel du rotationnel d'un champ vectoriel $\mathbf {V}$ est donné par :

\nabla \times (\nabla \times \mathbf {V} )=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {V} )-\nabla ^{2}\mathbf {V}

Démonstration

En convention de sommation d'Einstein on a :

\left(\nabla \times (\nabla \times \mathbf {V} )\right)_{i}={\epsilon _{i}}^{jk}\partial _{j}{\epsilon _{k}}^{lm}\partial _{l}V_{m}

En utilisant les propriétés du symbole de Levi-Civita et celles du symbole de Kronecker, on obtient alors :

\delta _{i}^{l}\delta ^{jm}\partial _{j}\partial _{l}V_{m}-\delta _{i}^{m}\delta ^{jl}\partial _{j}\partial _{l}V_{m}=\partial _{i}\partial ^{m}V_{m}-\partial _{j}\partial ^{j}V_{i}

On retrouve dans le membre de droite de cette dernière expression le gradient de la divergence et le Laplacien. On a donc finalement :

\left(\nabla \times (\nabla \times \mathbf {V} )\right)_{i}=\left(\nabla (\nabla \cdot \mathbf {V} )\right)_{i}-\nabla ^{2}(V_{i})

L'identité est ainsi démontrée.

Produit vectoriel du champ par son rotationnel

Le produit vectoriel du champ $\mathbf {V}$ par son rotationnel est donné par :

\mathbf {V} \times (\nabla \times \mathbf {V} )=\nabla \left({\frac {\mathbf {V} ^{2}}{2}}\right)-(\mathbf {V} \cdot \mathbf {\nabla } )\mathbf {V}

Démonstration

En convention de sommation d'Einstein on a :

\left(\mathbf {V} \times (\nabla \times \mathbf {V} )\right)_{i}={\epsilon _{i}}^{jk}V_{j}{\epsilon _{k}}^{lm}\partial _{l}V_{m}

En utilisant les propriétés du symbole de Levi-Civita et celles du symbole de Kronecker, on obtient alors :

(\delta _{i}^{l}\delta _{j}^{m}-\delta _{i}^{m}\delta _{j}^{l})V_{j}\partial _{l}V_{m}=V_{j}\partial _{i}V^{j}-V_{j}\partial ^{j}V_{i}

L'identité est ainsi démontrée.

Autres identités impliquant des opérateurs

Dans cette section, $\psi$ et $\phi$ représentent des champs scalaires, $\mathbf {V} ,\mathbf {A}$ et $\mathbf {B}$ représentent des champs vectoriels.

$\nabla (\psi \phi )=(\nabla \psi )\phi +(\nabla \phi )\psi$

Cette relation découle immédiatement de la règle du produit.

$\nabla \cdot (\psi \mathbf {V} )=(\nabla \psi )\cdot \mathbf {V} +(\nabla \cdot \mathbf {V} )\psi$

Démonstration

En convention de sommation d'Einstein, on a :

\nabla \cdot (\psi \mathbf {V} )=\partial _{i}(\psi \mathbf {V} )^{i}

La règle du produit étant d'application, ce dernier terme est équivalent à :

(\partial _{i}\psi )V^{i}+\psi (\partial _{i}V^{i})=(\nabla \psi )\cdot \mathbf {V} +(\nabla \cdot \mathbf {V} )\psi

L'identité est ainsi démontrée.

$\nabla \times (\psi \mathbf {V} )=(\nabla \psi )\times \mathbf {V} +(\nabla \times \mathbf {V} )\psi$

Démonstration

En convention de sommation d'Einstein, on a :

(\nabla \times (\psi \mathbf {V} ))_{i}={\epsilon _{i}}^{jk}\partial _{j}(\psi \mathbf {V} )_{k}

La règle du produit étant d'application, ce dernier terme est équivalent à :

{\epsilon _{i}}^{jk}(\partial _{j}\psi )V_{k}+{\epsilon _{i}}^{jk}(\partial _{j}V_{k})\psi =((\nabla \psi )\times \mathbf {V} )_{i}+(\nabla \times \mathbf {V} )_{i}\psi

L'identité est ainsi démontrée.

Gradient d'un produit scalaire

$\nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} +(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} +\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} )+\mathbf {B} \times (\nabla \times \mathbf {A} )$

Démonstration

En convention de sommation d'Einstein, on a :

(\nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} ))_{i}=\partial _{i}(A^{j}B_{j})=\partial _{i}(A^{j}B_{j})+[A^{j}\partial _{j}B_{i}-A^{j}\partial _{j}B_{i}+B_{j}\partial ^{j}A_{i}-B_{j}\partial ^{j}A_{i}]

On a ainsi fait apparaître dans la parenthèse les termes $A^{j}\partial _{j}B_{i}=(\mathbf {A} \cdot \nabla )B_{i}$ et $B_{j}\partial ^{j}A_{i}=(\mathbf {B} \cdot \nabla )A_{i}$ . Il reste maintenant à montrer que les trois termes restants se combinent pour prendre la forme recherchée. On a, avec la règle du produit,

\partial _{i}(A^{j}B_{j})-A^{j}\partial _{j}B_{i}-B_{j}\partial ^{j}A_{i}=\partial _{i}A^{j}B_{j}+A^{j}\partial _{i}B_{j}-A^{j}\partial _{j}B_{i}-B_{j}\partial ^{j}A_{i}

En rassemblant le premier et le dernier terme (et de la même manière le second et le troisième terme) on a:

B_{j}\partial _{i}A^{j}-B_{j}\partial ^{j}A_{i}=\delta _{i}^{l}\delta ^{jm}B_{j}\partial _{l}A_{m}-\delta ^{jl}\delta _{i}^{m}B_{j}\partial _{l}A_{m}

où l'on a introduit des $\delta$ afin de faire apparaître le terme $B_{j}\partial _{l}A_{m}$ . En mettant ce terme en évidence, on a:

(\delta _{i}^{l}\delta ^{jm}-\delta ^{jl}\delta _{i}^{m})B_{j}\partial _{l}A_{m}=\epsilon _{i}^{jk}\epsilon _{k}^{lm}B_{j}\partial _{l}A_{m}

soit finalement $(\mathbf {B} \times (\nabla \times \mathbf {A} ))_{i}$ . Le second et le troisième terme mentionnés plus haut donnent exactement le même résultat où A et B sont échangés soit $(\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} ))_{i}$ . En rassemblant les résultats précédents, on a finalement:

(\nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} ))_{i}=(\mathbf {A} \cdot \nabla )B_{i}+(\mathbf {B} \cdot \nabla )A_{i}+(\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} ))_{i}+(\mathbf {B} \times (\nabla \times \mathbf {A} ))_{i}

L'identité est ainsi démontrée.

Divergence d'un produit vectoriel

$\nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )=(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )$

Démonstration

En convention de sommation d'Einstein, on a :

(\nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} ))=\partial _{i}({\epsilon ^{i}}_{jk}A^{j}B^{k})

La règle du produit étant d'application, ce dernier terme est égal à :

{\epsilon ^{i}}_{jk}(\partial _{i}A^{j})B^{k}+{\epsilon ^{i}}_{jk}A^{j}(\partial _{i}B^{k})

En effectuant une permutation paire d'indice sur le premier terme et une impaire sur le second, on obtient :

({{\epsilon _{k}}^{i}}_{j}\partial _{i}A^{j})B^{k}-A^{j}({{\epsilon _{j}}^{i}}_{k}\partial _{i}B^{k})=(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )

Le changement de signe provient de la permutation impaire d'indice du symbole de Levi-Civita.

L'identité est ainsi démontrée.

Rotationnel d'un produit vectoriel

$\nabla \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )=(\nabla \cdot \mathbf {B} )\mathbf {A} -(\nabla \cdot \mathbf {A} )\mathbf {B} +(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} -(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B}$

Démonstration

En convention de sommation d'Einstein, on a :

(\nabla \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} ))_{i}={\epsilon _{i}}^{jk}\partial _{j}({\epsilon _{k}}^{lm}A_{l}B_{m})=\epsilon _{i}^{jk}\epsilon _{k}^{lm}(\partial _{j}A_{l}B_{m}+A_{l}\partial _{j}B_{m})

où l'on a utilisé la règle du produit. Avec les propriétés du symbole de Levi-Civita ce dernier terme se réécrit

(\delta ^{il}\delta ^{jm}-\delta ^{im}\delta ^{jl})(\partial _{j}A_{l}B_{m}+A_{l}\partial _{j}B_{m})=\partial _{j}A_{i}B^{j}+A_{i}\partial _{j}B^{j}-\partial _{j}A^{j}B_{i}-A^{j}\partial _{j}B_{i}

Le membre de droite peut alors s'écrire comme suit:

(\mathbf {B} \cdot \nabla )A_{i}+A_{i}(\nabla \cdot \mathbf {B} )-(\nabla \cdot \mathbf {A} )B_{i}-(\mathbf {A} \cdot \nabla )B_{i}

L'identité est ainsi démontrée.

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