Fonction B-différentiable

Soient ${\displaystyle \mathbb {E} }$ et ${\displaystyle \mathbb {F} }$ deux espaces normés, dont les normes sont toutes deux notées ${\displaystyle \|\cdot \|}$.

Cette définition requiert quelques éclaircissements et commentaires.

• La notion de B-différentiabilité a été introduite par Robinson (1987)[1]. La lettre B fait référence à Georges Bouligand.
• On dit qu'une fonction ${\displaystyle H:\mathbb {E} \to \mathbb {F} }$ est positivement homogène (de degré un) si, quel que soit ${\displaystyle x\in \mathbb {E} }$ et le réel ${\displaystyle t\geqslant 0}$, on a ${\displaystyle H(tx)=t\,H(x)}$. Alors ${\displaystyle H(0)=0}$, clairement.
• Un opérateur positivement homogène ${\displaystyle H:\mathbb {E} \to \mathbb {F} }$ est dit borné si sa norme ${\displaystyle \|H\|}$, définie ci-dessous, est finie :
  
  ${\displaystyle \|H\|:=\sup _{\|x\|\leqslant 1}\,\|H(x)\|.}$
  Comme pour les opérateurs linéaires, il revient au même de dire que ${\displaystyle H}$ est continu en zéro.
• On a noté ${\displaystyle Bf(x)\cdot h\in \mathbb {F} }$ la valeur de ${\displaystyle Bf(x)}$ en ${\displaystyle h\in \mathbb {E} }$.
• On dit qu'une fonction ${\displaystyle \varphi$ :\mathbb {E} \to \mathbb {F} } est un petit o de ${\displaystyle h\in \mathbb {E} }$ en zéro et on écrit ${\displaystyle \varphi (h)=o(h)}$ si
  
  ${\displaystyle \lim _{\scriptstyle h\to 0 \atop \scriptstyle h\neq 0}\;{\frac {\|\varphi (h)\|}{\|h\|}}=0.}$

1. La fonction minimum composante par composante
   
   ${\displaystyle \mu$ :\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}:(x,y)\mapsto \min(x,y),\quad {\mbox{avec}}\quad [\min(x,y)]_{i}=\min(x_{i},y_{i})}
   est partout B-différentiable et sa B-dérivée est donnée par
   
   ${\displaystyle {\bigl [}B\mu (x,y)\cdot (h,k){\bigr ]}_{i}=\left\{{\begin{array}{ll}h_{i}&{\mbox{si}}~x_{i}<y_{i}\\\min(h_{i},k_{i})&{\mbox{si}}~x_{i}=y_{i}\\k_{i}&{\mbox{si}}~x_{i}>y_{i}.\end{array}}\right.}$
   On a un résultat analogue pour la fonction ${\displaystyle (x,y)\mapsto \max(x,y)=-\min(-x,-y)}$.
2. Si on compose ${\displaystyle \mu }$ avec deux fonctions ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ et ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ B-dérivables en ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$, on obtient une fonction
   
   ${\displaystyle \varphi$ :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}:x\mapsto \min(f(x),g(x)),}
   qui est aussi B-dérivable en ${\displaystyle x}$ et dont la B-dérivée est donnée par
   
   ${\displaystyle {\bigl [}B\varphi (x)\cdot (h){\bigr ]}_{i}=\left\{{\begin{array}{ll}[Bf(x)\cdot h]_{i}&{\mbox{si}}~[f(x)]_{i}<[g(x)]_{i}\\\min([Bf(x)\cdot h]_{i},[Bg(x)\cdot h]_{i})&{\mbox{si}}~[f(x)]_{i}=[g(x)]_{i}\\{}[Bg(x)\cdot h]_{i}&{\mbox{si}}~[f(x)]_{i}>[g(x)]_{i}.\end{array}}\right.}$
   On a un résultat analogue pour la fonction ${\displaystyle x\mapsto \max(f(x),g(x))=-\min(-f(x),-g(x))}$.