Coordonnées barycentriques

Une famille finie (P₀,…,P_k) de points d'un espace affine E est dite affinement libre, ou encore ces points sont dits affinement indépendants, quand aucun des points P_i n'appartient au sous-espace affine engendré par les k autres points. Dans le cas contraire il est dit affinement lié. Par exemple deux points distincts forment une famille affinement libre, de même 3 points non alignés, et 4 points non coplanaires[1].

De façon équivalente une famille finie (P₀,…,P_k) est affinement libre quand l'une des conditions suivantes est réalisée :

• aucun des points P_i n'est barycentre des autres points ;
• la famille de vecteurs ${\displaystyle \left({\overrightarrow {P_{0}P_{1}}},{\overrightarrow {P_{0}P_{2}}},\dots ,{\overrightarrow {P_{0}P_{k}}}\right)}$ est libre (ou la condition analogue en prenant n'importe lequel des P_i comme origine).

Il suit de la seconde condition et des propriétés des familles libres des espaces vectoriels qu'une famille affinement libre d'un espace affine de dimension finie n est d'ordre au plus n + 1. On appelle alors base affine (et très souvent repère affine) une famille affinement libre maximale, et la seconde condition devient :

(P₀,…,P_n) est une base affine de l'espace affine E si et seulement si ${\displaystyle \left({\overrightarrow {P_{0}P_{1}}},{\overrightarrow {P_{0}P_{2}}},\dots ,{\overrightarrow {P_{0}P_{n}}}\right)}$ est une base vectorielle de la direction de E, c'est-à-dire si et seulement si P₀ muni de cette famille de vecteurs est un repère affine (très souvent appelé un repère cartésien) de E.

Une base affine d'un espace affine E de dimension finie n est donc une famille affine libre (P₀,…,P_k) de n + 1 points. Ainsi 2 points distincts d'une droite forment une base affine de celle-ci, 3 points non alignés d'un plan forment une base affine de ce plan, 4 points non coplanaires d'un espace de dimension 3 une base de celui-ci, etc.

L'espace affine engendré par (P₀,…,P_n), c'est-à-dire le plus petit sous-espace affine contenant ces points, est l'espace affine E tout entier si ces points forment une base affine de E.

L'isobarycentre G des 3 points non alignés (A,B,C) a pour coordonnées barycentriques dans ce repère du plan (1,1,1) ou, en coordonnées normalisées, (1/3, 1/3, 1/3).

Soit (P₀,…,P_n) une base affine, encore appelée repère barycentrique ou encore repère affine d'un espace affine E. Alors, tout point M de l'espace affine peut s'écrire comme un barycentre des points du repère, c'est-à-dire qu'il existe n + 1 scalaires ${\displaystyle (\lambda _{0},\dots ,\lambda _{n})}$ vérifiant :

${\displaystyle \lambda _{0}{\overrightarrow {MP_{0}}}+\lambda _{1}{\overrightarrow {MP_{1}}}+\dots +\lambda _{n}{\overrightarrow {MP_{n}}}={\overrightarrow {0}}}$

avec ${\displaystyle \lambda _{0}+\lambda _{1}+\dots +\lambda _{n}\neq 0}$

et de plus deux systèmes de scalaires vérifiant ceci sont multiples l'un de l'autre.

On appelle alors coordonnées barycentriques, ou coefficients barycentriques, du point M un tel système de « poids » ${\displaystyle (\lambda _{0},\dots ,\lambda _{n})}$, et les coordonnées barycentriques de M ne sont pas uniques, mais seulement uniques à un coefficient multiplicateur non nul près. Elles peuvent être définies de manière unique en fixant la somme des coordonnées à 1 : de telles coordonnées sont dites normalisées.

Soit ABC un triangle non plat, c'est-à-dire que (A,B,C) est un repère barycentrique. Alors un point quelconque du plan du triangle P, a pour coordonnées les trois déterminants suivants (relatifs à une base quelconque du plan) :

${\displaystyle \alpha =\left|{\overrightarrow {PB}},{\overrightarrow {PC}}\right|,\ \beta =\left|{\overrightarrow {PC}},{\overrightarrow {PA}}\right|,\ \gamma =\left|{\overrightarrow {PA}},{\overrightarrow {PB}}\right|}$

c'est-à-dire que :

${\displaystyle \alpha {\overrightarrow {PA}}+\beta {\overrightarrow {PB}}+\gamma {\overrightarrow {PC}}={\overrightarrow {0}}}$

avec :

${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =\left|{\overrightarrow {PB}},{\overrightarrow {PC}}\right|+\left|{\overrightarrow {PC}},{\overrightarrow {PA}}\right|+\left|{\overrightarrow {PA}},{\overrightarrow {PB}}\right|=\left|{\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {AC}}\right|\neq 0}$.

Si la base choisie est ${\displaystyle \left({\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {AC}}\right)}$, ce sont donc les coordonnées normalisées (α, β, γ) vérifiant

${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =1}$

et ces coordonnées normalisées s'interprètent comme des rapports d'aires algébriques de la façon suivante :

${\displaystyle {\begin{cases}\alpha ={\frac {Aire(PBC)}{Aire(ABC)}}\\\beta ={\frac {Aire(APC)}{Aire(ABC)}}\\\gamma ={\frac {Aire(ABP)}{Aire(ABC)}}.\end{cases}}}$

En géométrie réelle, l'aire géométrique usuelle est la valeur absolue de l'aire algébrique. Le résultat vaut pour l'aire géométrique si le point est à l'intérieur du triangle. S'il est à l'extérieur, les signes des coefficients dépendent de l'orientation des triangles considérés (positif si l'orientation est la même que celle du triangle ABC, négative dans le cas contraire, voir schéma).

• Coordonnées barycentriques (astronomie)
• Fonction de Leibniz, Combinaison barycentrique
• Diagramme ternaire
• Coordonnées trilinéaires

• Les coordonnées barycentriques des points remarquables dans un triangle sur le site Math Web.
• Cours sur les coordonnées barycentriques par Jean-Louis Tu, dans le cadre de la préparation aux Olympiades de mathématiques.
• Méthodes de détermination d'appartenance d'un point à un triangle avec les coordonnées barycentriques.

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