Coordonnées trilinéaires

L'aire algébrique d'un triangle XYZ est ${\displaystyle S_{XYZ}={\frac {1}{2}}\det \left({\overrightarrow {XY}},{\overrightarrow {XZ}}\right)}$, positive si XYZ est direct, négative sinon. Or ${\displaystyle S_{XYZ}={\frac {1}{2}}YZ\times h}$ où h est la distance algébrique de X à la droite (YZ) orientée de Y vers Z. Pour un triangle ABC de sens direct et de côtés de longueur BC = a, AC = b, AB = c, les coordonnées trilinéaires d'un point M sont donc :

${\displaystyle \left({\frac {\det({\overrightarrow {MB}},{\overrightarrow {MC}})}{a}}:{\frac {\det({\overrightarrow {MC}},{\overrightarrow {MA}})}{b}}:{\frac {\det({\overrightarrow {MA}},{\overrightarrow {MB}})}{c}}\right)}$

ou

${\displaystyle \left({\frac {S_{MBC}}{a}}:{\frac {S_{MCA}}{b}}:{\frac {S_{MAB}}{c}}\right)}$.

Le triplet ${\displaystyle (S_{MBC},S_{MCA},S_{MAB})}$ étant un triplet de coordonnées barycentriques de M, on en déduit que si M a pour coordonnées trilinéaires (x : y : z), il a pour coordonnées barycentriques (ax , by , cz).

Voici les coordonnées trilinéaires de quelques points remarquables du triangle :

• ${\displaystyle A(1:0:0)}$
• ${\displaystyle B(0:1:0)}$
• ${\displaystyle C(0:0:1)}$
• milieu de ${\displaystyle [BC]\,(0:ac:ab)}$
• milieu de ${\displaystyle [CA]\,(bc:0:ba)}$
• milieu de ${\displaystyle [AB]\,(cb:ca:0)}$
• centre du cercle inscrit ${\displaystyle I(1:1:1)}$
• centre de gravité ${\displaystyle G(bc:ca:ab){\text{ ou }}(1/a:1/b:1/c){\text{ ou }}(1/\sin {\widehat {A}}:1/\sin {\widehat {B}}:1/\sin {\widehat {C}})}$
• centre du cercle circonscrit ${\displaystyle O(\cos {\widehat {A}}:\cos {\widehat {B}}:\cos {\widehat {C}})}$
• orthocentre ${\displaystyle H(1/\cos {\widehat {A}}:1/\cos {\widehat {B}}:1/\cos {\widehat {C}})}$
• centre du cercle d'Euler ${\displaystyle \Omega (\cos({\widehat {B}}-{\widehat {C}}):\cos({\widehat {C}}-{\widehat {A}}):\cos({\widehat {A}}-{\widehat {B}}))}$
• point de Lemoine ${\displaystyle (a:b:c){\text{ ou }}(\sin {\widehat {A}}:\sin {\widehat {B}}:\sin {\widehat {C}}).}$

On trouvera dans l'encyclopédie des centres de triangle (ETC) les coordonnées trilinéaires de milliers de points remarquables du triangle.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Trilinear coordinates » (voir la liste des auteurs).