Auguste De Morgan

De Morgan était un écrivain brillant et plaisant, y compris dans sa correspondance, notamment avec William Hamilton.

Il n'aimait pas la campagne et tandis que sa famille profitait du bord de la mer et que les hommes de science avaient du bon temps dans des clubs, il restait dans des librairies poussiéreuses de la métropole. Il ne vota jamais à une élection.

La meilleure présentation de sa conception de l'algèbre se trouve dans Trigonométrie et algèbre double publiée en 1849. L'étape suivante aurait dû être l'algèbre « triple » et si ${\displaystyle a+b{\sqrt {-1}}}$ représente vraiment une ligne dans un plan donné, il devrait être possible de trouver un troisième terme qui ajouté aux précédents représenterait une ligne dans l'espace. Argand et quelques autres devinèrent que c'était ${\displaystyle a+b{\sqrt {-1}}+c{\sqrt {-1}}\,^{\sqrt {-1}}}$ bien que cela contredise la vérité établie par Euler que ${\displaystyle {\sqrt {-1}}\,^{\sqrt {-1}}=e^{-{\frac {1}{2}}\pi }}$. De Morgan et bien d'autres travaillèrent dur au problème, mais sans résultat jusqu’à ce que le problème soit pris par Hamilton. Aujourd'hui nous en voyons clairement la raison : le symbole de la double algèbre dénote non une longueur et une direction mais un coefficient et un angle. Dans celui-ci les angles sont confinés à un plan ; donc l'étape suivante devrait être une algèbre quadruple quand l'axe du plan devient variable. Et cela donne la réponse à la première question ; l'algèbre double n'est rien que de la trigonométrie analytique de plan. Mais De Morgan n'alla jamais jusque-là.^[pas clair]

Quand l'étude des mathématiques fut relancée à l'université de Cambridge, ce fut aussi le cas de la logique. La dynamique venait de Whewell. L'ouvrage Logique formelle de De Morgan, publié en 1847, est principalement intéressant pour son développement du syllogisme numériquement défini. Les aristotéliciens disent qu'à partir de deux propositions particulières comme quelques M sont des A et quelques M sont des B on n'obtient pas de conclusion nécessaire sur les A et les B. Mais ils vont plus loin et disent que, pour obtenir une conclusion nécessaire sur les A et les B, le terme moyen doit être pris universellement dans l'une des prémisses. De Morgan signala qu'à partir de la plupart des M sont des A et la plupart des M sont des B on déduit que quelques A sont des B et il formula le syllogisme numérique qui met ce principe dans une forme quantitative précise. Supposons que le nombre de M est ${\displaystyle m}$, celui des M qui sont des A est ${\displaystyle a}$, et celui des M qui sont des B est ${\displaystyle b}$ ; alors il y a au moins ${\displaystyle (a+b-m)}$ A qui sont des B. Par exemple avec 1000 personnes sur un bateau dont 500 sont dans le salon et 700 meurent il est obligatoire qu'au moins 700+500-1000, donc 200 de ceux dans le salon furent des victimes.

De Morgan fit alors une avancée majeure en introduisant la quantification des termes. À ce moment, Hamilton enseignait à Édimbourg une doctrine de la quantification du prédicat et une correspondance en jaillit. Cependant De Morgan se rendit rapidement compte que la quantification de Hamilton était d'une autre nature ; cela revenait, par exemple, à remplacer par les deux formes tout A est tout B et tout A est une partie de B la forme aristotélicienne Tout A est B. Hamilton pensa qu'il avait placé la clé de voûte dans l'arche aristotélicienne, comme il le disait, bien que celle-ci eût été une arche étrange qui puisse tenir 2000 ans sans une clé de voûte. Par conséquent, il n'avait aucune place pour les innovations de De Morgan qu'il accusa d'être un plagiaire et la controverse entre les deux hommes fit rage plusieurs années durant dans les colonnes de l'Athenæum et dans leurs publications.

À propos de la notion de paradoxe il explique que c'est par comparaison avec la connaissance établie (acceptée par les autorités). Le budget est une sorte d'anthologie.

De Morgan est reconnu surtout pour sa redécouverte de la loi de dualité entre la somme et le produit, où « le contraire d’un agrégat (somme logique) est le composé (produit logique) des contraires des agrégants ; le contraire d’un composé est l’agrégat des contraires des composants ». Voici donc l’expression de cette loi de dualité :

1. ~(x + y) = ~x . ~y
2. ~(x . y) = ~x + ~y

ou encore (¬ est le passage au complémentaire) :

1. ¬(x ∩ y) = ¬x ∪ ¬y
2. ¬(x ∪ y) = ¬x ∩ ¬y

Cette loi est aussi applicable au calcul des propositions en vertu de l’isomorphisme avec le calcul des classes. Il y a donc un principe de dualité entre la conjonction et la disjonction, s’exprimant comme suit :

1. ¬ (p ∧ q) ⇔ ¬ p ∨ ¬q
2. ¬ (p ∨ q) ⇔ ¬ p ∧ ¬q

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