Prédicat (logique mathématique)

En logique mathématique, un prédicat d'un langage est une propriété des objets du domaine considéré (l'univers du discours) exprimée dans le langage en question. Plus généralement cette propriété peut porter non seulement sur des objets (on peut préciser prédicat d'arité 1, à une place, monadique ou bien encore unaire[1]^,[2]), mais aussi sur des couples d'objets (on parle alors de prédicat binaire, ou d'arité 2, ou à deux places, ou encore de relation binaire), des triplets d'objets (prédicat ou relation ternaire ou d'arité 3 etc.), etc. Un prédicat d'arité n s'interprète par une fonction à n argument sur l'univers du discours, et à valeurs dans les valeurs de vérité, faux et vrai (0 et 1) en logique classique.

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Un langage du calcul des prédicats peut comporter des symboles primitifs pour représenter certains prédicats. Par exemple le prédicat binaire, ou relation, d'égalité, noté « = », est toujours interprété sur le domaine considéré (nombres entiers, etc.), par l'identité. Sur les nombres entiers naturels et dans de nombreux autres domaines le prédicat binaire « ≤ » représente l'ordre. Sur l'univers d'une théorie des ensembles comme la théorie ZFC, la relation d'appartenance notée « ∈ » est un symbole primitif. Un prédicat peut avoir pour arguments des objets de types, ou sortes, différents. Par exemple en géométrie axiomatique, comme pour le plan projectif (structure d'incidence), le prédicat « être incident à » est défini entre les points et les droites du plan ou de l'espace considéré. L'arité est alors plus complexe qu'un simple nombre.

Le langage du calcul des prédicats permet de définir de nouveaux prédicats, à l'aide de formules logiques, en particulier les formules ouvertes (comportant des variables libres). Ces définitions ne font pas partie explicitement du langage du calcul des prédicats du premier ordre.

Par exemple, sur les entiers naturels, le prédicat unaire « être inférieur ou égal à 4 » peut être défini par la formule « x ≤ 4 ». Il est alors implicite que la valeur du prédicat (vrai ou faux) est fonction de l'entier naturel substitué à x, le choix du nom x n'est pas important, on pourrait tout aussi bien dire que ce prédicat est défini par la formule « y ≤ 4 ».

Dans d'autres cas il est utile d'être plus précis en nommant explicitement les variables dans la définition. Par exemple sur les entiers naturels, dans un langage avec un symbole primitif pour l'addition, mais pas pour l'ordre, on peut tout de même définir l'ordre, que l'on note ≤, par :

x ≤ y quand ∃z x + z = y (la variable z est liée dans cette formule)

Le choix des noms des variables x et y est indifférent, on définit le même prédicat par :

y ≤ x quand ∃z y + z = x.

Un prédicat peut comporter des paramètres, par exemple le prédicat unaire « être compris entre a et b » est défini par :

x est compris entre a et b quand a ≤ x et x ≤ b.

Les prédicats « être compris entre a et b », « être compris entre b et c », sont des prédicats a priori distincts dont la valeur dépend des paramètres indiqués.