Présentation
La loi normale est la loi de probabilité continue la plus connue. Nous avons amorcé son étude au niveau 13, au chapitre 4 de la leçon sur les lois de probabilité continues.
On la retrouve dans de nombreuses situations concrètes, et aussi dans de nombreux résultats théoriques.
Sa densité de probabilité est la célèbre « courbe en cloche » de Gauss.
Définition
La loi normale est une loi de probabilité pour les variables aléatoires continues.
On la définit au moyen d'une densité de probabilité (voir chap. 1) :
![](../../I/Emblem-equal-defined.svg.png.webp)
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- Le fait que cette fonction est bien une densité de probabilité sur se déduit de la valeur de l'intégrale de Gauss : .
- Nous démontrerons plus loin que les paramètres et sont respectivement égaux à l'espérance et à l'écart-type de la loi normale .
La notation peut aussi être rencontrée. Il faut donc faire attention à la valeur (variance ou écart-type ) considérée comme deuxième paramètre.
Courbes en cloche
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On observe la forme « en cloche », que l’on peut observer en statistiques quand on construit l'histogramme d'un caractère dépendant d'un grand nombre de données :
- la taille d'un individu (dépend de la taille de ses parents, de son alimentation, de son mode de vie…) ;
- la conformité d'une pièce technologique ;
- etc.
Loi normale centrée réduite
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La loi normale centrée réduite est celle dont l'espérance vaut 0 (centrée) et l'écart-type 1 (réduite), c'est-à-dire . Sa densité est :
- .
Un simple changement de variable dans le calcul de la fonction de répartition montre que :
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si et seulement si .
Moments
Fonction génératrice des moments
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La fonction génératrice des moments d'une variable aléatoire est :
Effectuons le changement de variable :
![](../../I/Emblem-important-blue.svg.png.webp)
Ceci prouve au passage que a des moments à tout ordre.
Espérance et formule de récurrence
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Soit .
- L'espérance de est égale à :
- .
- Les moments de vérifient la relation de récurrence :
- .
D'après la proposition précédente, donc
- .
Variance et autres moments centrés
Si alors . Par conséquent :
![](../../I/Emblem-important-blue.svg.png.webp)
Soit .
La fonction génératrice des moments centrés de est :
Autrement dit : les moments centrés d'ordres impairs sont nuls et ceux d'ordres pairs sont donnés par :
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- La variance et l'écart-type d'une variable aléatoire sont :
- .
- Le coefficient d'asymétrie d'une loi normale est nul.
- Le kurtosis d'une loi normale vaut 3.
Cette valeur est significative : si alors .
Souvent, on normalise le kurtosis d'une loi en lui soustrayant 3.
Table de probabilité
Dans les applications calculatoires, on se ramène à la table de probabilité de la loi normale centrée réduite.
Dans ce tableau, pour , on donne pour .
L'entrée en lignes représente les chiffres des unités et des dixièmes de et l'entrée en colonnes représente le chiffre des centièmes de .
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- Si T suit une loi normale centrée réduite, déterminer à l'aide de la table la probabilité que T soit inférieure ou égale à 1,00.
On trouve dans la table 84134.
![](../../I/ExTableNorm.PNG.webp)
On en déduit que la probabilité cherchée est de 0,84134.
- Si X suit une loi normale d'espérance 1 et d'écart-type 2, déterminer la probabilité pour que .
- .
Or, d’après le théorème de changement de variable, T suit une loi centrée réduite. Donc
d'après l'exemple précédent. Finalement,
- .
- Une entreprise produit des boules, dont le diamètre d (en millimètres) suit une loi . Une boule sera dite « conforme » si .
- On suppose que . Calculer la probabilité qu'une boule soit conforme.
- Quelle valeur devrait prendre pour que la probabilité d'obtenir une boule conforme soit supérieure à 0,9 ?
- , or .
La table donne , or donc
. - , or .
(d'après la table) .