Trace et transposée de matrice/Exercices/Propriétés de la trace

Exercice 1-1

Soient $E$ un $K$ -espace vectoriel et $h:\mathrm {M} _{n}(K)\to E$ une application linéaire invariante par similitude, c'est-à-dire telle que pour toutes matrices $A,P\in \mathrm {M} _{n}(K)$ avec $P$ inversible, $h(P^{-1}AP)=h(A)$ .

Montrer que si $i\neq j$ alors $h(E_{i,i}+E_{i,j})=h(E_{i,i})=h(E_{1,1})$ , où $E_{i,j}$ est la notation usuelle pour les $n^{2}$ matrices de la base canonique de $\mathrm {M} _{n}(K)$ .
En déduire qu'il existe $e\in E$ tel que $\forall A\in \mathrm {M} _{n}(K)\quad h(A)=\operatorname {tr} (A)\,e$ .
En déduire que si $f:\mathrm {M} _{n}(K)\to E$ est une application linéaire vérifiant $\forall A,B\in \mathrm {M} _{n}(K)\quad f(AB)=f(BA)$ , alors il existe $e\in E$ tel que $\forall A\in \mathrm {M} _{n}(K)\quad f(A)=\operatorname {tr} (A)\,e$ .

Solution

Les matrices $E_{i,i}+E_{i,j}$ (pour $i\neq j$ ), $E_{i,i}$ et $E_{1,1}$ sont semblables car elles ont une droite propre pour la valeur 1 et supplémentaire de leur noyau (elles sont mêmes semblables par des matrices de passage inversibles dans les matrices à coefficients entiers).
Soit $e=h(E_{1,1})$ . Pour toute matrice $A=\sum a_{i,j}\,E_{i,j}$ , on a $h(A)=\sum a_{i,j}\,h(E_{i,j})=\sum a_{i,i}\,e=\operatorname {tr} (A)\,e$ .
Une telle application $f$ vérifie en particulier (pour toutes matrices $A,P\in \mathrm {M} _{n}(K)$ avec $P$ inversible) $f(P^{-1}AP)=f(APP^{-1})=f(A)$ , ce qui permet d'appliquer la question précédente.

Exercice 1-2

a/ Soient f et g deux formes linéaires sur un K-e.v. E. Montrer que si Ker(g) ⊂ Ker(f) alors f est colinéaire à g. (Remarque : la réciproque est immédiate.)

b/ En déduire que si une forme linéaire f sur M_n(K) vérifie :

∀ A, B ∈ M_n(K) f(AB) = f(BA), alors il existe α ∈ K tel que f = α Tr.

Solution

a/ Supposons Ker(g) ⊂ Ker(f). Si g = 0 alors Ker(g) = E donc f = 0 = 0g. Supposons maintenant g ≠ 0. Il existe alors un vecteur e ∈ E tel que g(e) = 1. Posons α = f(e) et vérifions que f = α g.

f et α g coïncident à la fois sur e et (par hypothèse) sur ker(g).

Or im(g) = K donc (d'après l'isomorphisme fondamental qui permet de démontrer le théorème du rang) la droite engendrée par e est un supplémentaire de Ker(g).

Par conséquent, f et α g coïncident sur E tout entier.

b/ Il suffit, d’après le a/, de montrer que Ker(Tr) ⊂ Ker(f). Pour cela, vérifions que f s'annule sur toutes les matrices de la base de Ker(Tr) de la propriété 6. On a :

$i\neq j\Rightarrow f(E_{i,j})=f(\delta _{i,i}E_{i,j})=f(E_{i,i}E_{i,j})=f(E_{i,j}E_{i,i})=f(\delta _{j,i}E_{i,i})=f(0)=0$ ;
$f(E_{i,i})=f(\delta _{1,1}E_{i,i})=f(E_{i,1}E_{1,i})=f(E_{1,i}E_{i,1})=f(\delta _{i,i}E_{1,1})=f(E_{1,1})$ donc $f(E_{i,i}-E_{1,1})=0$ .

Par conséquent Ker(Tr) ⊂ Ker(f), ce qui conclut.

Référence : Bourbaki, Algèbre, p. II.158, prop. 8.

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