Application linéaire/Exercices/Noyau et image

Soient E, F et G trois K-espaces vectoriels.

Exercice 2-1

Soient $u\in \operatorname {L} (E,F)$ et $v\in \operatorname {L} (F,G)$ .

Vérifier que $v\circ u=0$ si et seulement si $\operatorname {im} u\subset \operatorname {Ker} v$ .

Solution

${\begin{aligned}v\circ u=0&\Leftrightarrow \forall x\in E\quad v\left(u(x)\right)=0\\&\Leftrightarrow \forall x\in E\quad u(x)\in \ker v\\&\Leftrightarrow \forall y\in \operatorname {im} u\quad y\in \ker v.\end{aligned}}$

Exercice 2-2

Soient $u,v,w\in \operatorname {L} (E)$ tels que $u\circ v=w$ , $v\circ w=u$ et $w\circ u=v$ .

Montrer que ces trois endomorphismes ont même noyau et même image.

Solution

$u\circ v=w\Rightarrow \operatorname {Ker} v\subset \operatorname {Ker} w$ . De même, $\operatorname {Ker} w\subset \operatorname {Ker} u$ et $\operatorname {Ker} u\subset \operatorname {Ker} v$ . Les trois noyaux sont donc égaux.
$u\circ v=w\Rightarrow \operatorname {Im} w\subset \operatorname {Im} u$ . De même, $\operatorname {Im} u\subset \operatorname {Im} v$ et $\operatorname {Im} v\subset \operatorname {Im} w$ . Les trois images sont donc égales.

Exercice 2-3

Soient $u,v\in \operatorname {L} (E)$ .

Vérifier que $\ker v\subset \ker u\circ v$ et $\operatorname {im} v\supset \operatorname {im} v\circ u$ .
Montrer que $\ker v=\ker u\circ v\Leftrightarrow \ker u\cap \operatorname {im} v=\{0\}$ .
Montrer que $\operatorname {im} v=\operatorname {im} v\circ u\Leftrightarrow E=\operatorname {im} u+\ker v$ .

Solution

$\forall x\in \ker v\quad u\circ v(x)=u\left(v(x)\right)=u(0)=0$ donc $x\in \ker u\circ v$ . On a donc bien $\ker v\subset \ker u\circ v$ .
D'autre part (comme pour toutes applications de $E$ dans $E$ , même non linéaires) $\operatorname {im} v\circ u=v\circ u(E)=v\left(u(E)\right)\subset v(E)=\operatorname {im} v$ .
D'après la question 1, il reste à démontrer que $\ker u\circ v\subset \ker v\Leftrightarrow \ker u\cap \operatorname {im} v\subset \{0\}$ .
$\ker u\cap \operatorname {im} v\subset \{0\}\Leftrightarrow \forall y\in \operatorname {im} v\quad \left(u(y)=0\Rightarrow y=0\right)\Leftrightarrow \forall x\in E\quad \left(u\left(v(x)\right)=0\Rightarrow v(x)=0\right)\Leftrightarrow \ker u\circ v\subset \ker v$ .
D'après la question 1, il reste à démontrer que $\operatorname {im} v\subset \operatorname {im} v\circ u\Leftrightarrow E\subset \operatorname {im} u+\ker v$ .
$E\subset \operatorname {im} u+\ker v\Leftrightarrow \forall x\in E\quad \exists y\in \operatorname {im} u\quad v(x-y)=0\Leftrightarrow \forall x\in E\quad \exists z\in E\quad v\left(x-u(z)\right)=0\Leftrightarrow \forall x\in E\quad \exists z\in E\quad v(x)=v\circ u(z)\Leftrightarrow \operatorname {im} v\subset \operatorname {im} v\circ u$ .

Exercice 2-4

Soit $\varphi \in \operatorname {L} (E)$ . En utilisant parfois les résultats de l'exercice précédent, démontrer que :

la suite des noyaux des itérés de $\varphi$ est croissante et celle des images est décroissante : $\forall n\in \mathbb {N} \quad \ker \left(\varphi ^{n}\right)\subset \ker \left(\varphi ^{n+1}\right)\quad {\text{et}}\quad \operatorname {im} \left(\varphi ^{n}\right)\supset \operatorname {im} \left(\varphi ^{n+1}\right)$ ;
s'il existe au moins un $n$ tel que $\ker \left(\varphi ^{n}\right)=\ker \left(\varphi ^{n+1}\right)$ alors la suite des noyaux est strictement croissante jusqu'à un certain rang $p$ , puis constante à partir de ce rang ;
s'il existe au moins un $n$ tel que $\operatorname {im} \left(\varphi ^{n}\right)=\operatorname {im} \left(\varphi ^{n+1}\right)$ alors la suite des images est strictement décroissante jusqu'à un certain rang $q$ , puis constante à partir de ce rang ;
si les deux suites stationnent alors $E=\ker(\varphi ^{q})\oplus \operatorname {im} (\varphi ^{p})$ et $p=q$ ;
si $E$ est de dimension finie alors les deux suites stationnent et l'entier $p=q$ est au plus égal à $\dim(E)$ .

Solution

Appliquer la question 1 de l'exercice précédent à $u=\varphi$ et $v=\varphi ^{n}$ .
Soit $p$ le plus petit des entiers $n$ tels que $\ker \left(\varphi ^{n}\right)=\ker \left(\varphi ^{n+1}\right)$ . Pour tout $n\geq p$ , en prenant les images réciproques par $\varphi ^{n-p}$ des deux membres de l'égalité $\ker \left(\varphi ^{p}\right)=\ker \left(\varphi ^{p+1}\right)$ , on obtient : $\ker \left(\varphi ^{n}\right)=\ker \left(\varphi ^{n+1}\right)$ .
Soit $q$ le plus petit des entiers $n$ tels que $\operatorname {im} \left(\varphi ^{n}\right)=\operatorname {im} \left(\varphi ^{n+1}\right)$ . Pour tout $n\geq q$ , en prenant les images directes par $\varphi ^{n-q}$ des deux membres de l'égalité $\operatorname {im} \left(\varphi ^{q}\right)=\operatorname {im} \left(\varphi ^{q+1}\right)$ , on obtient : $\operatorname {im} \left(\varphi ^{n}\right)=\operatorname {im} \left(\varphi ^{n+1}\right)$ .
$\ker \left(\varphi ^{p+q}\right)=\ker \left(\varphi ^{p}\right)$ $\ker \left(\varphi ^{p+q}\right)=\ker \left(\varphi ^{p}\right)$ et $\operatorname {im} \left(\varphi ^{p+q}\right)=\operatorname {im} \left(\varphi ^{q}\right)$ $\operatorname {im} \left(\varphi ^{p+q}\right)=\operatorname {im} \left(\varphi ^{q}\right)$ donc d'après les questions 2 et 3 de l'exercice précédent :
$(1)\quad \ker \left(\varphi ^{q}\right)\cap \operatorname {im} \left(\varphi ^{p}\right)=\{0\}$ et $(2)\quad E=\operatorname {im} \left(\varphi ^{p}\right)+\ker \left(\varphi ^{q}\right)$ ,
autrement dit : $E=\ker(\varphi ^{q})\oplus \operatorname {im} (\varphi ^{p})$ $E=\ker(\varphi ^{q})\oplus \operatorname {im} (\varphi ^{p})$ .
- Si $p\geq q$ , on déduit de $(1)$ que $\ker \left(\varphi ^{q}\right)\cap \operatorname {im} \left(\varphi ^{q}\right)=\{0\}$ , c'est-à-dire $\ker \left(\varphi ^{2q}\right)=\ker \left(\varphi ^{q}\right)$ , donc $p\leq q$ .
- Si $q\geq p$ , on déduit de $(2)$ que $E=\operatorname {im} \left(\varphi ^{p}\right)+\ker \left(\varphi ^{p}\right)$ , c'est-à-dire $\operatorname {im} \left(\varphi ^{2p}\right)=\operatorname {im} \left(\varphi ^{p}\right)$ , donc $q\leq p$ .
Dans les deux cas, on peut donc conclure : $p=q$ .
Si $E$ est de dimension finie $n$ , on ne peut pas avoir $\{0\}\subsetneq \ker \left(\varphi \right)\subsetneq \ker \left(\varphi ^{2}\right)\subsetneq \dots \subsetneq \ker \left(\varphi ^{n+1}\right)$ , car $\dim \left(\ker \left(\varphi ^{n+1}\right)\right)\leq n$ . Donc la suite des noyaux stationne à partir d'un rang $p\leq n$ . On démontre de même que la suite des images stationne à partir d'un rang $q\leq n$ .

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