Application linéaire/Rang

E, F et G sont des K-espaces vectoriels de dimension quelconque (finie ou infinie), sauf dans le dernier théorème.

Isomorphisme fondamental

Théorème

Soit $u\in \operatorname {L} (E,F)$ . Un sous-espace vectoriel $G$ de $E$ est supplémentaire de $\operatorname {Ker} u$ si et seulement si la restriction de $u$ , de $G$ dans $\operatorname {Im} u$ , est un isomorphisme.

Démonstration

Notons $u_{G}:G\to \operatorname {Im} u$ la restriction de $u$ .

$\operatorname {Ker} u_{G}=G\cap \operatorname {Ker} u$ , donc $u_{G}$ est injective si et seulement si $G\cap \operatorname {Ker} u=\{0\}$ .
$u_{G}$ est surjective si et seulement si $u(E)\subset u(G)$ , c'est-à-dire : $\forall x\in E\quad \exists y\in G\quad u(x)=u(y)$ , ou encore $x-y\in \operatorname {Ker} u$ , ce qui équivaut à $E=G+\operatorname {Ker} u$ .

Rang d'une application linéaire

Définition

Soit $u\in \operatorname {L} (E,F)$ . Le rang de u, noté rg(u), est la dimension de Im(u).

Théorème

Soit $u\in \operatorname {L} (E,F)$ .

$\forall v\in \operatorname {L} (F,G){\text{ bijective }},\mathrm {rg} (v\circ u)=\mathrm {rg} (u)$
$\forall v\in \operatorname {L} (G,E){\text{ bijective }},\mathrm {rg} (u\circ v)=\mathrm {rg} (u)$

La composition par un isomorphisme laisse le rang invariant.

Théorème du rang

Le théorème du rang est un théorème-clé de la manipulation des applications linéaires. Il est indispensable de le connaître parfaitement.

Théorème du rang

Soit

u\in \operatorname {L} (E,F)

.

$\dim E=\dim(\operatorname {Ker} u)+\dim(\operatorname {Im} u)$

Démonstration

D'après l'« isomorphisme fondamental » (voir supra), la dimension de tout supplémentaire G de $\operatorname {Ker} u$ dans E est égale à $\dim(\operatorname {Im} u)$ . À l'aide du théorème sur la dimension d'une somme directe, on en déduit que $\dim(\operatorname {Ker} u)+\dim(\operatorname {Im} u)=\dim(\operatorname {Ker} u)+\dim G=\dim E$ .

Caractérisations de la bijectivité

Théorème

On suppose $\dim(E)=\dim(F)=n$ (un entier) et $u\in \operatorname {L} (E,F)$ .

$u$ est un isomorphisme $\iff$ rg(u) = n $\iff$ Ker(u) = {0}.

Remarque: Les hypothèses de ce théorème sont vérifiées en particulier si $\dim(E)=n$ et $u\in \operatorname {L} (E)$ .

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