Théorie générale des nombres complexes/Racines n-ièmes d'un nombre complexe

Groupe U des complexes de module 1

Définition

On note $\mathbb {U} =\{z\in \mathbb {C} \mid |z|=1\}$ l’ensemble des complexes de module 1 (les affixes des points du cercle trigonométrique).

Propriété

$(\mathbb {U} ,\times )$ est un groupe.

Démonstration

C'est le noyau du morphisme $(\mathbb {C} ^{*},\times )\to (\mathbb {R} _{+}^{*},\times ),\,z\mapsto |z|$ .

Propriété

L'application $\theta \mapsto \operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta }$ est un morphisme surjectif de $(\mathbb {R} ,+)$ dans $(\mathbb {U} ,\times )$ .

Racines n-ièmes d'un nombre complexe

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$

Racines n-ièmes de l'unité

Définition

On pose $\mathbb {U} _{n}=\left\{\exp \left({\frac {2ik\pi }{n}}\right),0\leq k\leq n-1\right\}$ l’ensemble des racines n-ièmes de l'unité.

Racines de l'unité aux premiers ordres

Les racines carrées de l'unité sont 1 et -1.
On pose $j=\exp \left({\frac {2i\pi }{3}}\right)$ . Les racines cubiques de l'unité sont 1, j et j².
Les racines quatrièmes de l'unité sont 1, -1, i et -i.

Racines n-ièmes d'un nombre complexe

Voir les exercices sur : Équations polynomiales complexes.

Propriété

Tout complexe non nul admet n racines n-ièmes.

Théorème

Soit $z\in \mathbb {C}$ de forme trigonométrique r e^iθ.

L'ensemble des racines n-ièmes de z est $\left\{r^{1/n}\exp \left({\frac {2ik\pi }{n}}+{\frac {i\theta }{n}}\right),0\leq k\leq n-1\right\}=\left\{ur^{1/n}\exp \left({\frac {i\theta }{n}}\right),u\in \mathbb {U} _{n}\right\}$

Exemple

Quelles sont les racines cinquièmes de 1+i ?

$1+i={\sqrt {2}}\exp \left({\frac {i\pi }{4}}\right)$
$\mathbb {U} _{5}=\left\{\exp \left({\frac {2ik\pi }{5}}\right),0\leq k\leq n-1\right\}$

Les racines cinquièmes de 1+i sont donc les éléments de $\left\{({\sqrt {2}})^{\frac {1}{5}}\exp \left({\frac {i\pi }{20}}+{\frac {2ik\pi }{5}}\right),0\leq k\leq n-1\right\}$ , soit :

$({\sqrt {2}})^{\frac {1}{5}}\exp \left({\frac {i\pi }{20}}\right)$
$({\sqrt {2}})^{\frac {1}{5}}\exp \left({\frac {i\pi }{20}}+{\frac {2i\pi }{5}}\right)=2^{\frac {1}{10}}\exp \left({\frac {9i\pi }{20}}\right)$
$({\sqrt {2}})^{\frac {1}{5}}\exp \left({\frac {i\pi }{20}}+{\frac {4i\pi }{5}}\right)=2^{\frac {1}{10}}\exp \left({\frac {17i\pi }{20}}\right)$
$({\sqrt {2}})^{\frac {1}{5}}\exp \left({\frac {i\pi }{20}}+{\frac {6i\pi }{5}}\right)=2^{\frac {1}{10}}\exp \left({\frac {25i\pi }{20}}\right)$
$({\sqrt {2}})^{\frac {1}{5}}\exp \left({\frac {i\pi }{20}}+{\frac {8i\pi }{5}}\right)=2^{\frac {1}{10}}\exp \left({\frac {33i\pi }{20}}\right)$

Racines carrées d'un nombre complexe

La méthode précédente permet rapidement de trouver l’expression des racines d'ordre quelconque d'un nombre complexe sous forme exponentielle. Or, en pratique, ce que l’on recherche le plus couramment est la recherche des racines carrées d'un nombre complexe, par exemple lors de la résolution d'équations du second degré.

Nous allons exposer la méthode la plus efficace pour trouver sous forme algébrique les racines carrées d'un complexe donné sous forme algébrique.

Méthode de calcul des racines carrées d'un complexe

On souhaite calculer les racines carrées du complexe $z=3-2i$ .

On sait qu’il existe, pour tout complexe non nul, deux racines carrées complexes.
Soit $(a,b)\in \mathbb {R} ^{2}$ tel que $z=(a+bi)^{2}$
On développe : $z=(a^{2}-b^{2})+2abi$
On identifie partie réelle et partie imaginaire :

${\begin{cases}\Re (z)=a^{2}-b^{2}=3\\\Im (z)=2ab=-2\end{cases}}$

On exprime les modules : ${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}=|z|={\sqrt {9+4}}={\sqrt {13}}$
On combine les équations du module et de la partie réelle pour trouver a² et b² :

${\begin{cases}a^{2}-b^{2}=3\\a^{2}+b^{2}=13\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}a^{2}={\frac {3+13}{2}}\\b^{2}={\frac {13-3}{2}}\end{cases}}$

L'équation de la partie imaginaire renseigne sur les signes respectifs de a et b:
- Si $\Im (z)=2ab<0$ , alors a et b sont de signes contraires
- Si $\Im (z)=2ab>0$ , alors a et b sont de même signe
Dans ce cas précis, a et b sont de signes contraires.
On en déduit les racines carrées cherchées :

$r_{1}={\sqrt {8}}-i{\sqrt {5}}$ et $r_{2}=-{\sqrt {8}}+i{\sqrt {5}}$

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