Le nombre de racines d'un trinôme dépend de son discriminant : ${\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac}$

• Si ${\displaystyle \Delta >0}$ alors le trinôme a deux racines réelles :

${\displaystyle x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}}$ et ${\displaystyle x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}}$

• Si ${\displaystyle \Delta =0}$ alors le trinôme a une racine réelle :

${\displaystyle x_{0}=-{\frac {b}{2a}}}$

• Si ${\displaystyle \Delta <0}$ alors le trinôme a deux racines complexes :

${\displaystyle x_{1}={\frac {-b+i{\sqrt {|\Delta |}}}{2a}}}$ et ${\displaystyle x_{2}={\frac {-b-i{\sqrt {|\Delta |}}}{2a}}}$ où ${\displaystyle i^{2}=-1}$

Trouver les racines de la fonction polynomiale ${\displaystyle f:x\mapsto x^{2}-2x+2}$.

Le discriminant de ƒ est strictement négatif : ${\displaystyle \Delta =-4}$, donc ƒ n'admet aucune racine réelle. En revanche, il existe deux racines complexes de ƒ, définies par : ${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&={\frac {-(-2)-i{\sqrt {|\Delta |}}}{2\times 1}}\\&={\frac {2-2i}{2}}\\&=1-i\end{aligned}}}$

et ${\displaystyle {\begin{aligned}x_{2}&={\frac {-(-2)+i{\sqrt {|\Delta |}}}{2\times 1}}\\&={\frac {2+2i}{2}}\\&=1+i\end{aligned}}}$

On peut factoriser ƒ dans ${\displaystyle \mathbb {C} }$ :

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{2}(x)&=(x-x_{1})(x-x_{2})\\&=(x-1+i)(x-1-i)\\&=\left(x-{\sqrt {2}}e^{\frac {-i\pi }{4}}\right)\left(x-{\sqrt {2}}e^{\frac {i\pi }{4}}\right)\end{aligned}}}$

Le nombre de racines d'un trinôme dépend de son discriminant : ${\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac}$

• Si ${\displaystyle \Delta \not =0}$ alors le trinôme a deux racines :

${\displaystyle z_{1}={\frac {-b+\delta }{2a}}}$ et ${\displaystyle z_{2}={\frac {-b-\delta }{2a}}}$

• Si ${\displaystyle \Delta =0}$ alors le trinôme a une racine :

${\displaystyle z_{0}=-{\frac {b}{2a}}}$

Factoriser la fonction trinôme définie sur ${\displaystyle \mathbb {C} }$ par ${\displaystyle f:z\mapsto z^{2}-4z+4+2i}$.

• Son discriminant vaut :

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta &=b^{2}-4ac\\&=(-4)^{2}-4\times 1\times (4+2i)\\&=-8i\end{aligned}}}$

• ${\displaystyle \Delta \not =0}$ donc Δ admet deux racines carrées distinctes : ${\displaystyle \delta =2(1-i)}$ et ${\displaystyle -\delta =-2(1-i)}$
• Les racines de f sont alors :

${\displaystyle {\begin{aligned}z_{1}&={\frac {-b+\delta }{2a}}\\&={\frac {4+2(1-i)}{2}}\\&=3-i\\\end{aligned}}}$ et ${\displaystyle {\begin{aligned}z_{2}&={\frac {-b-\delta }{2a}}\\&={\frac {4-2(1-i)}{2}}\\&=1+i\\\end{aligned}}}$

Donc ${\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} ,~f(z)=(z-(1+i))(z-(3-i))}$