Applications techniques des nombres complexes/Exercices/Équations polynomiales complexes

Pour le cours correspondant à cet exercice, voir Approche géométrique des nombres complexes/Apports à l'algèbre.

Racines carrées d'un nombre complexe

Soit $z\in \mathbb {C}$ tel que ${\mathfrak {R}}(z)\not =0$ .

On pose

v=z+|z|

. Montrer que les racines carrées de z sont

\pm {\frac {v}{\sqrt {2{\mathfrak {R}}(v)}}}

Solution

${\begin{aligned}\left({\frac {v}{\sqrt {2{\mathfrak {R}}(v)}}}\right)^{2}&={\frac {v^{2}}{2{\mathfrak {R}}(v)}}\\&={\frac {(z+|z|)^{2}}{2(|z|+\Re (z))}}\\&={\frac {z^{2}+2z|z|+|z|^{2}}{2(|z|+\Re (z))}}\\&=z~{\frac {z+{\bar {z}}+2|z|}{2(|z|+\Re (z))}}\\&=z~{\frac {2(\Re (z)+|z|)}{2(|z|+\Re (z))}}\\&=z\end{aligned}}$

On sait ainsi que les carrés de ${\frac {v}{\sqrt {2{\mathfrak {R}}(v)}}}$ et $-{\frac {v}{\sqrt {2{\mathfrak {R}}(v)}}}$ valent z.
On sait qu’il existe exactement deux racines carrées distinctes de z.

Finalement, les racines carrées de z sont $\pm {\frac {v}{\sqrt {2{\mathfrak {R}}(v)}}}$

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