Dans ce chapitre, on va définir le produit libre d'une famille de groupes et montrer qu'il possède une propriété universelle analogue à celle de la somme directe d'une famille de groupes abéliens. Le produit libre ne jouera qu'un rôle modeste dans le futur chapitre sur les présentations de groupes, de sorte que le lecteur intéressé par les présentations et non par le produit libre pourra passer immédiatement au chapitre sur les présentations (non encore écrit dans l'état actuel du cours).

Construction du produit libre

Étant donné une famille ${\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}$ d'ensembles, nous définirons l'ensemble somme de cette famille, ou encore la réunion disjointe de cette famille, comme l'ensemble des couples (i, x), avec i dans ${\displaystyle I}$ et x dans X_i^[1].
Pour un groupe G de neutre 1, on désignera par ${\displaystyle G^{\sharp }}$ l'ensemble ${\displaystyle G\setminus \{1\}}$.
Soit ${\displaystyle (G_{i})_{i\in I}}$ une famille de groupes. On notera 1_i le neutre de G_i. On désignera par ${\displaystyle \Sigma }$ l'ensemble somme de la famille ${\displaystyle (G_{i}^{\sharp })_{i\in I}}$.
Pour tout ensemble X, notons Mo(X) l'ensemble des multiplets d'éléments de X. On sait que Mo(X) est un monoïde (le « monoïde libre construit sur X ») pour la loi de composition par « concaténation » :

${\displaystyle ((x_{1},\ldots ,x_{m}),(y_{1},\ldots y_{n}))\mapsto (x_{1},\ldots ,x_{m},y_{1},\ldots ,y_{n}).}$

Nous avons déjà rencontré ce monoïde dans le chapitre Groupes libres, premiers éléments. Les éléments de Mo(X) sont souvent appelés les mots dans X. Le nombre naturel m est appelé la longueur^[2] du mot ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{m})}$.
Si ${\displaystyle \Sigma }$ désigne, comme convenu, l'ensemble somme de la famille ${\displaystyle (G_{i}^{\sharp })_{i\in I}}$, les éléments de Mo(${\displaystyle \Sigma }$) sont donc les multiplets de la forme

${\displaystyle ((i_{1},g_{1}),\ldots ,(i_{n},g_{n}))}$,

où n parcourt les nombres naturels (${\displaystyle \geq 0}$), où ${\displaystyle i_{1},\ldots i_{n}}$ parcourent ${\displaystyle I}$ et où, pour tout j dans {1, ... , n}, ${\displaystyle g_{j}\in G_{i_{j}}^{\sharp }}$.
(On notera que, par définition de ${\displaystyle \Sigma }$, un élément ${\displaystyle g_{j}}$ apparaissant dans un couple ${\displaystyle (i_{j},g_{j})}$ est distinct de ${\displaystyle 1_{i_{j}}.}$)

Définition

Nous dirons qu'un élément ${\displaystyle ((i_{1},g_{1}),\ldots ,(i_{n},g_{n}))}$ de Mo(${\displaystyle \Sigma }$) est réduit s'il n'existe pas d'indice r dans {1, ... , n-1} tel que ${\displaystyle i_{r}=i_{r+1}}$.

Exemples

1) Le multiplet vide est réduit.

2) Si i est un élément de ${\displaystyle I}$ et g un élément de ${\displaystyle G_{i}^{\sharp }}$, le 1-uplet ((i, g)) est un élément réduit de Mo(${\displaystyle \Sigma }$). Le 1-uplet ${\displaystyle (i,1_{i})}$ n'est pas un élément réduit de Mo(${\displaystyle \Sigma }$), ce n'est même pas un élément de Mo(${\displaystyle \Sigma }$).

3) Soient ${\displaystyle i_{1},i_{2}}$ deux différents éléments de ${\displaystyle I}$, soient ${\displaystyle g_{1}\in G_{i_{1}}^{\sharp },g_{2}\in G_{i_{2}}^{\sharp }}$ et ${\displaystyle g_{3}\in G_{i_{1}}^{\sharp }}$. Alors ${\displaystyle ((i_{1},g_{1}),(i_{2},g_{2}),(i_{1},g_{3}))}$ est un élément réduit de Mo(${\displaystyle \Sigma }$), mais ${\displaystyle ((i_{2},g_{2}),(i_{1},g_{1}),(i_{1},g_{3}))}$ n'en est pas un.

Notation

Pour une famille ${\displaystyle (G_{i})_{i\in I}}$ de groupes, nous noterons ${\displaystyle {\underset {i\in I}{*}}G_{i}}$ l'ensemble des mots réduits de Mo(${\displaystyle \Sigma }$), où ${\displaystyle \Sigma }$ désigne l'ensemble somme des ${\displaystyle G_{i}^{\sharp }}$.

Nous allons maintenant munir ${\displaystyle {\underset {i\in I}{*}}G_{i}}$ d'une loi de groupe *.

Convenons d'abord, pour alléger les notations, que dans l'écriture ${\displaystyle (i,gh)}$, avec ${\displaystyle i}$ dans ${\displaystyle I}$ et ${\displaystyle g,h}$ dans ${\displaystyle G_{i}}$, ${\displaystyle gh}$ désignera toujours le produit de ${\displaystyle g}$ et ${\displaystyle h}$ dans ${\displaystyle G_{i}}$. De même, dans l'écriture ${\displaystyle (i,g^{-1})}$, ${\displaystyle g^{-1}}$ désignera toujours l'inverse de ${\displaystyle g}$ dans ${\displaystyle G_{i}}$. (Cela doit être précisé, puisque les groupes ${\displaystyle G_{i}}$ ne sont pas supposés disjoints deux à deux.)

Soient ${\displaystyle ((i_{1},g_{1}),\ldots ,(i_{m},g_{m}))}$ et ${\displaystyle ((j_{1},h_{1}),\ldots ,(j_{n},h_{n}))}$ deux éléments de ${\displaystyle {\underset {i\in I}{*}}G_{i}}$, autrement dit deux éléments réduits de Mo(${\displaystyle \Sigma }$).
Le « concaténé » de ces deux éléments, autrement dit leur produit dans le monoïde Mo(${\displaystyle \Sigma }$), est réduit si et seulement on n'est pas dans le cas ${\displaystyle m\geq 1,n\geq 1}$ et ${\displaystyle i_{m}=j_{1}.}$
Si on est dans le cas ${\displaystyle m\geq 1,n\geq 1}$ et ${\displaystyle i_{m}=j_{1}}$, il est assez naturel d'opérer une réduction du concaténé en procédant comme suit :

- si ${\displaystyle g_{m}h_{1}}$, calculé dans le groupe ${\displaystyle G_{i_{m}}=G_{j_{1}}}$, n'est pas égal au neutre de ce groupe, on fusionne le m-ième et le (m+1)-ième couple du concaténé, à savoir les couples ${\displaystyle (i_{m},g_{m})}$ et ${\displaystyle (j_{1},h_{1})}$, en les remplaçant par le couple ${\displaystyle (i_{m},g_{m}h_{1})=(j_{1},g_{m}h_{1})}$; autrement dit, on remplace le concaténé par le mot

${\displaystyle ((i_{1},g_{1}),\ldots ,(i_{m-1},g_{m-1}),(i_{m},g_{m}h_{1}),(j_{}2,h_{2}),\ldots ,(j_{n},h_{n}))}$,

qui peut encore s'écrire

${\displaystyle ((i_{1},g_{1}),\ldots ,(i_{m-1},g_{m-1}),(j_{1},g_{m}h_{1}),(j_{}2,h_{2}),\ldots ,(j_{n},h_{n}))}$;

- si maintenant ${\displaystyle g_{m}h_{1}}$, calculé dans le groupe ${\displaystyle G_{i_{m}}=G_{j_{n}}}$, est égal au neutre de ce groupe, on supprime du concaténé le m-ième et le (m+1)-ième couple, à savoir les couples ${\displaystyle (i_{m},g_{m})=(j_{1},g_{m})}$ et ${\displaystyle (j_{1},h_{1})=(j_{1},g_{m}^{-1})}$.

Dans le second cas, il se peut que le résultat ne soit pas encore un mot réduit. On recommence alors l'opération de réduction jusqu'à ce qu'on tombe sur un mot réduit, ce qui doit arriver, puisqu'il est impossible de construire une suite infinie de mots de longueur strictement décroissante. Le mot réduit ainsi obtenu définit le composé (ou composé réduit)

${\displaystyle ((i_{1},g_{1}),\ldots ,(i_{m},g_{m}))*((j_{1},h_{1}),\ldots ,(j_{n},h_{n}))}$.

Voici une description plus maniable des opérations.
Si ${\displaystyle ((k_{1},x_{1}),\ldots ,(k_{r},x_{r}))}$ est un élément de Mo(${\displaystyle \Sigma }$), si s est un nombre naturel tel que ${\displaystyle 0\leq s\leq r}$, définissons le segment initial de longueur s de ${\displaystyle ((k_{1},x_{1}),\ldots ,(k_{r},x_{r}))}$ comme étant ${\displaystyle ((k_{1},x_{1}),\ldots ,(k_{s},x_{s}))}$ et définissons le segment final de longueur s de ${\displaystyle ((k_{1},x_{1}),\ldots ,(k_{r},x_{r}))}$ comme étant ${\displaystyle ((k_{r+1-s},x_{r+1-s}),(k_{r+2-s},x_{r+2-s}),\ldots ,(k_{r},x_{r}))}$.
(Si s = 0, le segment initial de longueur s et le segment final de longueur s sont égaux au mot vide.)
Si maintenant ${\displaystyle v=((i_{1},g_{1}),\ldots ,(i_{m},g_{m}))}$ est un élément réduit de Mo(${\displaystyle \Sigma }$), autrement dit un élément de ${\displaystyle {\underset {i\in I}{*}}G_{i}}$, définissons l'inverse de ${\displaystyle v}$ comme étant ${\displaystyle ((i_{m},g_{m}^{-1}),\ldots ,(i_{1},g_{1}^{-1})).}$ Il est clair que l'inverse de ${\displaystyle v}$ est lui aussi un élément réduit de Mo(${\displaystyle \Sigma }$) et que l'inverse de cet inverse est ${\displaystyle v}$. (Nous verrons que ${\displaystyle ((i_{1},g_{1}),\ldots ,(i_{m},g_{m}))}$ et ${\displaystyle ((i_{m},g_{m}^{-1}),\ldots ,(i_{1},g_{1}^{-1}))}$ sont inverse l'un de l'autre selon la loi de groupe que nous allons définir dans ${\displaystyle {\underset {i\in I}{*}}G_{i}}$.)
Soient maintenant ${\displaystyle ((i_{1},g_{1}),\ldots ,(i_{m},g_{m}))}$ et ${\displaystyle ((j_{1},h_{1}),\ldots ,(j_{n},h_{n}))}$ deux éléments réduits de Mo(${\displaystyle \Sigma }$).
Désignons par t le plus grand nombre naturel ${\displaystyle \leq }$ min{m, n} tel que le segment final de longueur t de ${\displaystyle ((i_{1},g_{1}),\ldots ,(i_{m},g_{m}))}$ et le segment initial de longueur t de ${\displaystyle ((j_{1},h_{1}),\ldots ,(j_{n},h_{n}))}$ soient inverses l'un de l'autre.
Autrement dit, t est le plus grand nombre naturel ${\displaystyle \leq }$ min{m, n} tel qu'il existe un élément (réduit) ${\displaystyle ((k_{1},f_{1}),\ldots ,(k_{t},f_{t}))}$ de Mo(${\displaystyle \Sigma }$) pour lequel

${\displaystyle ((i_{m+1-t},g_{m+1-t}),\ldots ,(i_{m},g_{m}))=((k_{1},f_{1}),\ldots ,(k_{t},f_{t}))}$

et

${\displaystyle ((j_{1},h_{1}),\ldots ,(j_{t},h_{t}))=((k_{t},f_{t}^{-1}),\ldots ,(k_{1},f_{1}^{-1})).}$

Cela revient encore à dire que t est le plus grand nombre naturel ${\displaystyle \leq }$ min{m, n} tel que

${\displaystyle (j_{1},h_{1})=(i_{m},g_{m}^{-1})}$

${\displaystyle (j_{2},h_{2})=(i_{m-1},g_{m-1}^{-1})}$

...

${\displaystyle (j_{t},h_{t})=(i_{m+1-t},g_{m+1-t}^{-1}).}$

Le nombre t étant ainsi défini (il existe et, si ${\displaystyle (i_{m},g_{m}^{-1})}$ et ${\displaystyle (j_{1},h_{1})}$ sont distincts, il est égal à 0), on définit le composé

${\displaystyle ((i_{1},g_{1}),\ldots ,(i_{m},g_{m}))*((j_{1},h_{1}),\ldots ,(j_{n},h_{n}))}$

comme égalant

${\displaystyle ((i_{1},g_{1}),\ldots ,(i_{m-t},g_{m-t}),((j_{t+1},h_{t+1}),\ldots ,(j_{n},h_{n}))}$

si on n'est pas dans le cas (${\displaystyle m-t\geq 1,n-t\geq 1}$ et ${\displaystyle i_{m-t}=j_{t+1}}$);

${\displaystyle ((i_{1},g_{1}),\ldots ,(i_{m-t-1},g_{m-t-1}),(i_{m-t},g_{m-t}h_{t+1}),(j_{t+2},h_{t+2}),\ldots ,(j_{n},h_{n}))}$,

qu'on peut aussi écrire

${\displaystyle ((i_{1},g_{1}),\ldots ,(i_{m-t-1},g_{m-t-1}),(j_{t+1},g_{m-t}h_{t+1}),(j_{t+2},h_{t+2}),\ldots ,(j_{n},h_{n}))}$,

si on est dans le cas (${\displaystyle m-t\geq 1,n-t\geq 1}$ et ${\displaystyle i_{m-t}=j_{t+1}}$).

Il est clair que, dans les deux cas, le composé

${\displaystyle ((i_{1},g_{1}),\ldots ,(i_{m},g_{m}))*((j_{1},h_{1}),\ldots ,(j_{n},h_{n}))}$

est un élément réduit de Mo(${\displaystyle \Sigma }$). (Dans le second cas, où ${\displaystyle i_{m-t}=j_{t+1}}$, le fait que le composé appartient à Mo(${\displaystyle \Sigma }$) résulte du fait que, par maximalité de t, ${\displaystyle g_{m-t}h_{t+1}\not =1_{i_{m-t}}=1_{j_{t+1}}.}$)
Nous avons donc défini une loi de composition interne * dans l'ensemble ${\displaystyle {\underset {i\in I}{*}}G_{i}}$ des éléments réduits de Mo(${\displaystyle \Sigma }$). Quand nous parlerons du composé (ou composé réduit) de deux éléments ${\displaystyle v}$ et ${\displaystyle w}$ de ${\displaystyle {\underset {i\in I}{*}}G_{i}}$, il s'agira de ${\displaystyle v*w.}$
Par exemple, si ${\displaystyle I=\{1,2\}}$, si ${\displaystyle G_{1}}$ est le groupe multiplicatif des puissances de 3 (sous-groupe <3> de ${\displaystyle \mathbb {Q} ,\times }$), si ${\displaystyle G_{2}}$ est le groupe multiplicatif des puissances de 5, alors

${\displaystyle ((2,5),(1,3^{-1}),(2,5^{7}),(1,3^{8}))}$

et

${\displaystyle ((1,3^{-8}),(2,5^{-7}),(1,3^{2}),(2,5^{-1}),(1,3^{9}))}$

sont des éléments réduits de Mo(${\displaystyle \Sigma }$) et leur composé réduit

${\displaystyle ((2,5),(1,3^{-1}),(2,5^{7}),(1,3^{8}))*((1,3^{-8}),(2,5^{-7}),(1,3^{2}),(2,5^{-1}),(1,3^{9}))}$

est

${\displaystyle ((2,5),(1,3),(2,5^{-1}),(1,3^{9})).}$

Le fait que les indices 1 et 2 alternent n'est évidemment pas fortuit.

Théorème 1

Soit ${\displaystyle (G_{i})_{i\in I}}$ une famille de groupes. Muni de la loi *, l'ensemble ${\displaystyle {\underset {i\in I}{*}}G_{i}}$ est un groupe. L'élément neutre est le mot vide et l'inverse du mot ${\displaystyle ((i_{1},g_{1}),\ldots ,(i_{m},g_{m}))}$ est le mot ${\displaystyle ((i_{m},g_{m}^{-1}),\ldots ,(i_{1},g_{1}^{-1})).}$

Démonstration. Ce qui concerne le neutre et l'inverse résulte clairement de la définition du composé, donc l'essentiel est de prouver que la loi * est associative. Comme nous l'avons fait pour démontrer l'associativité de la loi de composition dans F(X) (groupe libre construit sur l'ensemble X), nous allons utiliser le procédé de van der Waerden. L'imitation est si étroite que le lecteur pourrait normalement trouver la démonstration lui-même.
Pour tout élément de ${\displaystyle {\underset {i\in I}{*}}G_{i}}$ de la forme ((i, g)) (avec ${\displaystyle i\in I}$ et ${\displaystyle g\in G_{i}^{\sharp }}$), notons ${\displaystyle \vert i,g\vert }$ l'application

${\displaystyle v\mapsto ((i,g))*v}$

de ${\displaystyle {\underset {i\in I}{*}}G_{i}}$ dans lui-même. (Les barres verticales n'ont rien à voir avec le cardinal.)
Donc, pour tout élément ${\displaystyle v=((i_{1},h_{1}),\ldots ,(i_{n},h_{n}))}$ de ${\displaystyle {\underset {i\in I}{*}}G_{i}}$,

${\displaystyle \vert i,g\vert (v)=\left\lbrace {\begin{array}{l}((i,g),(i_{1},h_{1}),\ldots ,(i_{n},h_{n}))\ \mathrm {si\ n=0\ ou\ (n\geq 1\ et\ i\not =i_{1})} ,\\((i_{1},gh_{1}),(i_{2},h_{2}),\ldots ,(i_{n},h_{n}))\ \mathrm {si\ n\geq 1,i=i_{1}\ et\ gh_{1}\not =1_{i}=1_{i_{1}}} ,\\((i_{2},h_{2}),\ldots ,(i_{n},h_{n}))\ \mathrm {si\ n\geq 1,i=i_{1}\ et\ gh_{1}=1_{i}=1_{i_{1}}.} \end{array}}\right.}$.

Prouvons que pour tout élément ${\displaystyle i}$ de ${\displaystyle I}$ et tout élément ${\displaystyle g}$ de ${\displaystyle G_{i}^{\sharp }}$, les applications ${\displaystyle \vert i,g\vert }$ et ${\displaystyle \vert i,g^{-1}\vert }$ sont réciproques l'une de l'autre.
Soit ${\displaystyle v=((i_{1},h_{1}),\ldots ,(i_{n},h_{n}))}$ un élément de ${\displaystyle {\underset {i\in I}{*}}G_{i}}$.
Si tout d'abord ${\displaystyle n=0}$ ou (${\displaystyle n\geq 1}$ et ${\displaystyle i\not =i_{1}}$), alors

${\displaystyle \vert i,g\vert (v)=((i,g),(i_{1},h_{1}),\ldots ,(i_{n},h_{n})}$,

d'où, en passant aux images par ${\displaystyle \vert i,g^{-1}\vert }$,

(1) ${\displaystyle \qquad \vert i,g^{-1}\vert \circ \vert i,g\vert (v)=\vert i,g^{-1}\vert ((i,g),(i_{1},h_{1}),\ldots ,(i_{n},h_{n})).}$

(Rappel : ${\displaystyle f}$ étant une application partant d'une partie P d'un produit cartésien ${\displaystyle E_{1}\times \cdots \times E_{r}}$ et ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{r})}$ étant un élément de P, l'image de ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{r})}$ par ${\displaystyle f}$ est généralement notée ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{r})}$, alors qu'en toute rigueur il faudrait ${\displaystyle f((x_{1},\ldots ,x_{r})).}$ On s'est conformé à cet usage dans l'écriture du membre droit de (1).)
Par définition de ${\displaystyle \vert i,g^{-1}\vert }$, le membres droit de (1) égale

${\displaystyle ((i_{1},h_{1}),\ldots ,(i_{n},h_{n}))=v}$,

donc nous avons prouvé que

(2) ${\displaystyle \qquad }$si ${\displaystyle n=0}$ ou ${\displaystyle (n\geq 1}$ et ${\displaystyle i\not =i_{1}}$), alors ${\displaystyle \vert i,g^{-1}\vert \circ \vert i,g\vert \ (v)=v.}$

Si maintenant ${\displaystyle n\geq 1}$ et ${\displaystyle i=i_{1}}$, nous avons à distinguer entre les cas ${\displaystyle gh_{1}\not =1_{i}}$ et ${\displaystyle gh_{1}=1_{i}}$ dans ${\displaystyle G_{i}=G_{i_{1}}}$.
Supposons d'abord ${\displaystyle gh_{1}\not =1_{i}.}$ Alors, par définition de ${\displaystyle \vert i,g\vert }$,

${\displaystyle \vert i,g\vert (v)=((i_{1},gh_{1}),(i_{2},h_{2}),\ldots ,(i_{n},h_{n}))}$,

d'où, en passant aux images par ${\displaystyle \vert i,g^{-1}\vert }$,

(3) ${\displaystyle \qquad \vert i,g^{-1}\vert \circ \vert i,g\vert \ (v)=\vert i,g^{-1}\vert ((i_{1},gh_{1}),(i_{2},h_{2}),\ldots ,(i_{n},h_{n}).}$

Puisque nous supposons ${\displaystyle i=i_{1}}$ et que (par définition d'un élément de ${\displaystyle {\underset {i\in I}{*}}G_{i}}$), ${\displaystyle h_{1}\not =1_{i_{1}}=1_{i}}$, d'où ${\displaystyle g^{-1}(gh_{1})\not =1_{i}}$, le membre droit de (3) égale

${\displaystyle ((i_{1},h_{1}),\ldots ,(i_{n},h_{n}))=v}$,

donc nous avons prouvé que

(4) ${\displaystyle \qquad }$si ${\displaystyle n\geq 1}$, ${\displaystyle i=i_{1}}$ et ${\displaystyle gh_{1}\not =1_{i}}$, alors ${\displaystyle \vert i,g^{-1}\vert \circ \vert i,g\vert \ (v)=v.}$

Si enfin (dans le cas ${\displaystyle i=i_{1}}$), nous avons ${\displaystyle gh_{1}=1_{i}}$, alors

${\displaystyle \vert i,g\vert (v)=((i_{2},h_{2}),\ldots ,(i_{n},h_{n}))}$

d'où, en passant aux valeurs par ${\displaystyle \vert i,g^{-1}\vert }$,

(5) ${\displaystyle \qquad \vert i,g^{-1}\vert \circ \vert i,g\vert \ (v)=\vert i,g^{-1}\vert ((i_{2},h_{2}),\ldots ,(i_{n},h_{n}).}$

Puisque nous supposons ${\displaystyle i=i_{1}}$ et que (par définition d'un mot réduit) ${\displaystyle i_{1}\not =i_{2}}$, le membre droit de (5) égale ${\displaystyle ((i_{1},g^{-1}),(i_{2},h_{2}),\ldots ,(i_{n},h_{n})}$, donc (5) peut s'écrire

${\displaystyle \qquad \vert i,g^{-1}\vert \circ \vert i,g\vert \ (v)=((i_{1},g^{-1}),(i_{2},h_{2}),\ldots ,(i_{n},h_{n}).}$

Puisque nous supposons ${\displaystyle gh_{1}=1}$, cela revient à

${\displaystyle \qquad \vert i,g^{-1}\vert \circ \vert i,g\vert \ (v)=((i_{1},h_{1}),(i_{2},h_{2}),\ldots ,(i_{n},h_{n})}$,

autrement dit

${\displaystyle \qquad \vert i,g^{-1}\vert \circ \vert i,g\vert \ (v)=v.}$

Joint à (2) et à (4), cela prouve que cette relation est vraie dans tous les cas, donc

${\displaystyle \vert i,g^{-1}\vert \circ \vert i,g\vert }$ est la transformation identique de ${\displaystyle {\underset {i\in I}{*}}G_{i}}$.

En remplaçant dans ce résultat ${\displaystyle g}$ par ${\displaystyle g^{-1}}$, nous trouvons que

${\displaystyle \vert i,g\vert \circ \vert i,g^{-1}\vert }$ est elle aussi la transformation identique de ${\displaystyle {\underset {i\in I}{*}}G_{i}}$.

Donc

(6) ${\displaystyle \qquad \vert i,g\vert }$ et ${\displaystyle \vert i,g^{-1}\vert }$ sont deux permutations réciproques de ${\displaystyle {\underset {i\in I}{*}}G_{i}}$,

comme annoncé.

Montrons maintenant que si ${\displaystyle i}$ est un élément de ${\displaystyle I}$ et ${\displaystyle g,h}$ deux éléments de ${\displaystyle G_{i}^{\sharp }}$ non inverses l'un de l'autre, alors

(thèse 7) ${\displaystyle \qquad \vert i,g\vert \circ \vert i,h\vert =\vert i,gh\vert .}$

Soit ${\displaystyle v=((i_{1},a_{1}),\ldots ,(i_{n},a_{n}))}$ un élément de ${\displaystyle {\underset {i\in I}{*}}G_{i}}$; il s'agit de prouver que

${\displaystyle \qquad \vert i,g\vert \circ \vert i,h\vert \ (v)=\vert i,gh\vert \ (v)}$,

autrement dit

(thèse 8) ${\displaystyle \qquad \vert i,g\vert \circ \vert i,h\vert \ ((i_{1},a_{1}),\ldots ,(i_{n},a_{n}))=\vert i,gh\vert \ ((i_{1},a_{1}),\ldots ,(i_{n},a_{n})).}$

Supposons d'abord que

(hyp. 9) ${\displaystyle \qquad v}$ ne commence pas par un couple appartenant à ${\displaystyle \{i\}\times G_{i}^{\sharp }.}$

Cela revient à supposer ${\displaystyle n=0}$ ou ${\displaystyle (n\geq 1}$ et ${\displaystyle i_{1}\not =i)}$.
Alors

${\displaystyle \vert i,h\vert (v)=((i,h),(i_{1},a_{1}),\ldots ,(i_{n},a_{n}))}$,

donc le membre gauche de la thèse (8) égale

${\displaystyle \vert i,g\vert \ ((i,h),(i_{1},a_{1}),\ldots ,(i_{n},a_{n})).}$

Puisque nous supposons que ${\displaystyle g}$ et ${\displaystyle h}$ ne sont pas inverses dans ${\displaystyle G_{i}}$, cela revient à dire que le membre gauche de la thèse (8) égale

${\displaystyle ((i,gh),(i_{1},a_{1}),\ldots ,(i_{n},a_{n})).}$

D'autre part, d'après l'hypothèse (9) sur ${\displaystyle v}$, le membre droit de la thèse (8) égale lui aussi

${\displaystyle ((i,gh),(i_{1},a_{1}),\ldots ,(i_{n},a_{n})).}$

Nous avons donc prouvé que

(10) ${\displaystyle \qquad }$la thèse (8) est vraie dans l'hypothèse (9) sur ${\displaystyle v}$.

Supposons maitenant que l'hypothèse (9) n'est pas satisfaite, c'est-à-dire que

(hyp. 11)${\displaystyle \qquad n\geq 1}$ et ${\displaystyle i_{1}=i.}$

Si tout d'abord

(hyp. 12)${\displaystyle \qquad ha_{1}\not =1_{i}=1_{i_{1}}}$ dans ${\displaystyle G_{i}=G_{i_{1}}}$,

nous avons

${\displaystyle \qquad \vert i,h\vert (v)=((i_{1},ha_{1}),(i_{2},h_{2}),\ldots ,(i_{n},a_{n}))}$

d'où

(13)${\displaystyle \qquad \vert i,g\vert \circ \vert i,h\vert \ (v)=\vert i,g\vert \ ((i_{1},ha_{1}),(i_{2},h_{2}),\ldots ,(i_{n},a_{n})).}$

Si tout d'abord

(hyp. 14)${\displaystyle \qquad gha_{1}\not =1_{i}}$ dans${\displaystyle G_{i}}$,

il résulte de (13) que le membre gauche de la thèse (8) égale

${\displaystyle \qquad ((i_{1},gha_{1}),(i_{2},h_{2}),\ldots (i_{n},a_{n})).}$

D'autre part, puisque nous supposons (hyp. 14) que ${\displaystyle gha_{1}\not =1_{i}}$ dans ${\displaystyle G_{i}}$, le membre droitde la thèse (8) égale lui aussi

${\displaystyle \qquad ((i_{1},gha_{1}),(i_{2},h_{2}),\ldots (i_{n},a_{n})).}$

Donc

(15) ${\displaystyle \qquad }$la thèse (8) est vraie si les hypothèses (11), (12) et (14) sont satisfaites.

Toujours dans les hypothèses (11) et (12), supposons maintenant que l'hypothèse (14) n'est pas satisfaite, c'est-à-dire que

${\displaystyle \qquad gha_{1}=1_{i}}$ dans ${\displaystyle G_{i}.}$

Alors il résulte de (13) que le membre gauche de la thèse (8) égale

${\displaystyle \qquad ((i_{2},h_{2}),\ldots (i_{n},a_{n})).}$

D'autre part, puisque nous supposons que ${\displaystyle gha_{1}=1_{i}}$ dans ${\displaystyle G_{i}}$, le membre droitde la thèse (8) égale lui aussi

${\displaystyle \qquad ((i_{2},h_{2}),\ldots (i_{n},a_{n})).}$

Joint à (15), cela montre que

(16)${\displaystyle \qquad }$la thèse (8) est vraie dans les hypothèses (11) et (12), quelle que soit la valeur de ${\displaystyle gha_{1}.}$

Toujours dan l'hypothèse (11), où ${\displaystyle n\geq 1}$ et ${\displaystyle i_{1}=i}$, cessons de faire l'hypothèse (12) et supposons, au contraire, que

${\displaystyle \qquad ha_{1}=1_{i}}$ dans ${\displaystyle G_{i}.}$

Alors

${\displaystyle \qquad \vert i,h\vert (v)=((i_{2},h_{2}),\ldots ,(i_{n},a_{n})),}$

donc le membre gauche de la thèse (8) égale

${\displaystyle \qquad ((i_{1},g),(i_{2},h_{2}),\ldots ,(i_{n},a_{n})).}$

D'autre part, puisque nous supposons ${\displaystyle ha_{1}=1_{i}}$ dans ${\displaystyle G_{i}}$ et que ${\displaystyle g\not =1_{i}}$, nous avons ${\displaystyle gha_{1}=g\not =1_{i}}$ dans ${\displaystyle G_{i}}$, donc le membre droit de la thèse (8) égale lui aussi

${\displaystyle \qquad ((i_{1},g),(i_{2},h_{2}),\ldots ,(i_{n},a_{n})).}$

Joint aux résultats (10) et (16), cela montre que la thèse (8) est vraie dans tous les cas. Comme noté, cela revient à la thèse (7), à savoir que

(17) ${\displaystyle \qquad }$pour tout élément ${\displaystyle i}$ de ${\displaystyle I}$ et tous éléments ${\displaystyle g,h}$ de ${\displaystyle G_{i}^{\sharp }}$ non inverses l'un de l'autre, ${\displaystyle \vert i,g\vert \circ \vert i,h\vert =\vert i,gh\vert .}$

Notons S le groupe symétrique (groupe des permutations) de l'ensemble ${\displaystyle {\underset {i\in I}{*}}G_{i}.}$
D'après (6), les applications ${\displaystyle \vert i,g\vert }$, avec ${\displaystyle i}$ dans ${\displaystyle I}$ et ${\displaystyle g}$ dans ${\displaystyle G_{i}^{\sharp }}$, sont des permutations de ${\displaystyle {\underset {i\in I}{*}}G_{i}}$ et donc des éléments de S.
Notons E le sous-groupe de S engendré par ces permutations. D'après la « description constructive du sous-groupe engendré » (chapitre Groupes, premières notions), tout élément ${\displaystyle f}$ de E peut s'écrire

(18)${\displaystyle \qquad f=\vert i_{1},g_{1}\vert ^{\epsilon _{1}}\circ \vert i_{2},g_{2}\vert ^{\epsilon _{2}}\circ \cdots \circ \vert i_{n},g_{n}\vert ^{\epsilon _{n}}}$,

avec ${\displaystyle n\geq 0}$, ${\displaystyle g_{k}\in G_{i_{k}}^{\sharp }}$ pour tout ${\displaystyle k\in \{1,\ldots n\}}$ et ${\displaystyle \epsilon _{1},\ldots \epsilon _{n}\in \{1,-1\}\subseteq \mathbb {Z} .}$
Nous avons vu en (6) que ${\displaystyle \vert i,g\vert ^{-1}=\vert i,g^{-1}\vert }$, donc, pour chaque ${\displaystyle j\in \{1,\ldots ,n\}}$, la permutation ${\displaystyle \vert i_{j},g_{j}\vert ^{\epsilon _{j}}}$ apparaissant dans (18) est de la forme ${\displaystyle \vert i_{j},h_{j}\vert }$ avec ${\displaystyle h_{j}\in G_{i_{j}}^{\sharp }.}$
Donc, d'après (18), tout élément ${\displaystyle f}$ de E peut s'écrire

${\displaystyle f=\vert i_{1},h_{1}\vert \circ \cdots \circ \vert i_{n},h_{n}\vert }$

avec ${\displaystyle n\geq 0}$ et ${\displaystyle h_{k}\in G_{i_{k}}^{\sharp }}$ pour tout ${\displaystyle k\in \{1,\ldots ,n\}}$.
Considérons une telle écriture de ${\displaystyle f}$ où ${\displaystyle n}$ est le plus petit possible. Alors on n'a jamais ${\displaystyle i_{k}=i_{k+1}}$, car dans le cas contraire, les résultats (6) et (17) montrent que

${\displaystyle \vert i_{k},h_{k}\vert \circ \vert i_{k+1},h_{k+1}\vert }$, autrement dit ${\displaystyle \vert i_{k},h_{k}\vert \circ \vert i_{k},h_{k+1}\vert }$,

pourrait être soit supprimé si on avait ${\displaystyle h_{k}h_{k+1}=1_{k}}$ dans ${\displaystyle G_{i_{k}}}$, soit remplacé par ${\displaystyle \vert i_{k},h_{k}h_{k+1}\vert }$ dans le cas contraire, ce qui fournirait une écriture de ${\displaystyle f}$ où ${\displaystyle n}$ serait devenu plus petit, contrairement au choix de ${\displaystyle n}$.
Nous avons donc prouvé que tout élément ${\displaystyle f}$ du sous-groupe E de S peut s'écrire

${\displaystyle f=\vert i_{1},h_{1}\vert \circ \cdots \circ \vert i_{n},h_{n}\vert }$