Dans la suite, E désigne un monoïde et sa loi de composition est notée sous forme multiplicative, c'est-à-dire que nous écrirons ${\displaystyle xy}$ pour désigner le composé de ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle y}$. L'élément neutre sera noté 1.

Composé d'une séquence (finie) d'éléments d'un monoïde

Définissons récursivement le composé (« produit » dans notre notation) ${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}=x_{1}\ldots x_{n}}$ d'un n-uplet ${\displaystyle (x_{i})_{1\leq i\leq n}}$ d'éléments de E pour tout entier naturel n ou plus généralement, le composé ${\displaystyle \prod _{i\in I}x_{i}}$ d'une séquence d'éléments de E, c'est-à-dire d'une famille ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$ indexée par un ensemble fini totalement ordonné :

• le produit indexé par l'ensemble vide est égal à 1 ;
• si ${\displaystyle \beta }$ est le plus grand élément de ${\displaystyle I}$, ${\displaystyle \prod _{i\in I}x_{i}=\left(\prod _{i\in I\setminus \{\beta \}}x_{i}\right)x_{\beta }}$.

Pour les n-uplets, cette condition s'écrit :

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n+1}x_{i}=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)x_{n+1}}$

ou encore :

${\displaystyle x_{1}\ldots x_{n+1}=(x_{1}\ldots x_{n})x_{n+1}\quad (1)}$.

La « généralisation » des n-uplets aux séquences n'est qu'un artifice de notation — si deux séquences ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$ et ${\displaystyle (y_{j})_{j\in J}}$ sont équivalentes (c'est-à-dire s'il existe un isomorphisme ${\displaystyle \sigma }$ d'ensembles ordonnés de ${\displaystyle I}$ sur ${\displaystyle J}$ tel que, pour tout ${\displaystyle i\in I}$, ${\displaystyle y_{\sigma (i)}=x_{i}}$) alors leurs composés sont égaux, or toute séquence est canoniquement équivalente à un n-uplet — mais elle aide à formuler le théorème d'associativité suivant^[1] :

Théorème d'associativité

Soient E un monoïde, A et I deux ensembles finis totalement ordonnés, et ${\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I}}$ une famille de parties de A dont la réunion est A tout entier (on n'exclut pas que certains des ensembles considérés soient vides). On suppose que si i et j sont deux éléments de I tels que i < j, alors a < b pour tout ${\displaystyle a\in A_{i}}$ et tout ${\displaystyle b\in A_{j}}$. Pour toute séquence ${\displaystyle \left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ d'éléments de E indexée par A, on a

${\displaystyle \prod _{a\in A}x_{a}=\prod _{i\in I}\prod _{a\in A_{i}}x_{a}}$.

Un corollaire est que pour tout (n + 1)-uplet ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n+1})}$ d'éléments de E,

${\displaystyle x_{1}\ldots x_{n+1}=x_{1}(x_{2}\ldots x_{n+1})\quad (2)}$.

Cette formule (2), ou la formule (1) précédente, est couramment présentée — jointe à la définition du produit du 0-uplet comme étant égal à 1 — comme définition de ${\displaystyle x_{1}\ldots x_{n}}$ par récurrence sur n. Le corollaire permet de prouver l'équivalence de ces deux définitions, par récurrence sur le nombre de facteurs.

Si le monoïde E est commutatif, on peut définir le composé d'une famille finie d'éléments de E sans préciser un ordre sur l'index de cette famille, car on prouve que le composé, tel que défini ci-dessus, est alors indépendant de l'ordre choisi. Plus généralement, si E est un monoïde non forcément commutatif, si ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$ est une famille d'éléments de E dont tous les éléments commutent l'un avec l'autre, le produit des éléments de cette famille ne dépend pas de l'ordre choisi. C'est le « théorème de commutativité »^[2]. Ce théorème revient à dire que si ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$ est une famille finie d'éléments d'un monoïde qui commutent tous l'un avec l'autre, si ${\displaystyle \sigma }$ est une permutation de l’ensemble ${\displaystyle I}$, ${\displaystyle \prod _{i\in I}x_{i}=\prod _{i\in I}x_{\sigma (i)}}$. Plus généralement, si ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$ est une famille finie d'éléments d'un monoïde qui commutent tous l'un avec l'autre, si ${\displaystyle \sigma }$ est une bijection d'un ensemble ${\displaystyle J}$ sur ${\displaystyle I}$, ${\displaystyle \prod _{i\in I}x_{i}=\prod _{j\in J}x_{\sigma (j)}.}$

Le lemme suivant est utilisé dans le chapitre « Produit direct et somme restreinte » du cours sur les groupes :

Lemme

Soient M un monoïde et x₁, … , x_n, y₁, … , y_n des éléments de M. Si, pour tous indices i > j, x_i commute avec y_j, alors

x₁…x_n y₁…y_n = x₁ y₁…x_n y_n.

Remarque

C'est vrai a fortiori dans l'hypothèse plus forte où tous les éléments x₁, … , x_n, y₁, … , y_n commutent deux à deux. Dans ce cas, l'énoncé est un cas particulier du théorème de commutativité.

Notes et références

1. ↑ N. Bourbaki, Algèbre, Paris, Hermann, 1970, ch. I, § 1, n^o 3, p. 4, et § 2, n^o 1, p. 13.
2. ↑ N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 1, théor. 2, Paris, 1970, p. 8.