Matrice/Trace

Dans tout le chapitre, on ne traitera que de matrices carrées. Nous allons introduire la trace, qui constitue un outil de base d'étude des matrices.

Définition

Définition : trace d'une matrice

Soit A une matrice carrée. La trace de A est la somme des « éléments diagonaux » de A (les éléments de sa diagonale principale). Elle est notée : $\mathrm {tr} \,\mathbf {A}$ , ou $\mathrm {Tr} \,\mathbf {A}$ .

Exemples

La trace de la matrice :
$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}$

est :
$\mathrm {tr} \,\mathbf {A} =1+5+9=15$ .
La trace de I_n est n.
La trace de la matrice nulle est $0$ .

Propriétés

Soient $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$ et $\mathbf {B}$ $\mathbf {B}$ deux matrices carrées de même taille et $a$ $a$ un scalaire. Alors :
- $\mathrm {tr} \,\left(\mathbf {A} +\mathbf {B} \right)=\mathrm {tr} \,\mathbf {A} +\mathrm {tr} \,\mathbf {B}$ ;
- $\mathrm {tr} \,\left(a\,\mathbf {A} \right)=a\,\mathrm {tr} \,\mathbf {A}$ ;
- $\operatorname {tr} (^{\operatorname {t} }\!\mathbf {A} )=\operatorname {tr} \,\mathbf {A}$ ;
Soient $\mathbf {A} \in \mathrm {M} _{m,n}(K)$ $\mathbf {A} \in \mathrm {M} _{m,n}(K)$ et $\mathbf {B} \in \mathrm {M} _{n,m}(K)$ $\mathbf {B} \in \mathrm {M} _{n,m}(K)$ . Alors :
- $\mathrm {tr} \,\left(\mathbf {AB} \right)=\mathrm {tr} \,\left(\mathbf {BA} \right)$ .

Les deux premières propriétés se résument en disant que l'application trace est linéaire. Comme elle est à valeurs dans le corps K des scalaires, on dit que c'est une forme linéaire sur le K-espace vectoriel M_n(K).

Démonstration

Les trois premières propriétés sont immédiates. La dernière n’est pas beaucoup plus subtile :

$\mathrm {tr} (\mathbf {AB} )=\sum _{i=1}^{m}(\mathbf {AB} )_{ii}=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{ji}=\sum _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{m}b_{ji}a_{ij}=\sum _{j=1}^{n}(\mathbf {BA} )_{jj}=\mathrm {tr} (\mathbf {BA} )$ .

Corollaire : la trace est un invariant de similitude

Soient $\mathbf {A}$ et $\mathbf {B}$ deux matrices carrées semblables. Alors, $\mathrm {tr} \,\mathbf {A} =\mathrm {tr} \,\mathbf {B}$ .

Démonstration

D'après la dernière propriété ci-dessus, la matrice $\mathbf {A} =\mathbf {P} ^{-1}(\mathbf {B} \mathbf {P} )$ a même trace que $(\mathbf {B} \mathbf {P} )\mathbf {P} ^{-1}=\mathbf {B}$ .

Compléments

Pour plus de détails sur la trace, voir la leçon de niveau 15 : Trace et transposée de matrice. On y verra en particulier que :

Réciproquement, toute forme linéaire invariante par similitude est proportionnelle à la trace (exercice corrigé).
Le fait que la trace soit identique pour deux matrices semblables signifie que la trace d'un endomorphisme est une propriété intrinsèque de l'endomorphisme, peu importe la base dans laquelle on l'exprime. Elle est donc l'« empreinte », la « trace » de l'endomorphisme.
Le produit scalaire canonique sur $\operatorname {M} _{n}(\mathbb {R} )$ peut s'exprimer à l'aide de la trace.

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