Mathématiques en MPSI/Devoir/Décomposition en éléments simples, dénombrement, rudiments de logique et vocabulaire ensembliste, sommes, systèmes linéaires

Durée : 4 heures.

Énoncé

Questions de cours : rudiments de logique et décomposition en éléments simples

1. On exprime qu'une suite $\left(u_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ de nombre réels converge vers le réel $l$ si elle vérifie la propriété suivante :

\forall \epsilon >0\ \exists p\in \mathbb {N} \ \forall n\in \mathbb {N} \ \left(n\geq p\Rightarrow |u_{n}-l|<\epsilon \right)

.

Exprimer la propriété contraire.

2. Soit $P$ un polynôme non nul et $a\in \mathbb {C}$ une racine de $P$ .

2.1. Définir la multiplicité de

a

pour

P

.

2.2. Caractériser la multiplicité de

a

pour

P

à l'aide des polynômes dérivés de

P

.

Solution

1. $\exists \epsilon >0\ \forall p\in \mathbb {N} \ \exists n\in \mathbb {N} \ \left(n<p\lor \left|u_{n}-l\right|<\epsilon \right)$ .

2.

2.1. On dit que

\alpha

est une racine de

P

multiplicité

{\displaystyle n\in \mathbb {N} }

si

{\displaystyle (X-\alpha )^{n}}

divise

{\displaystyle P}

mais

{\displaystyle (X-\alpha )^{n+1}}

ne divise pas

{\displaystyle P}

.

2.2. On démontre que

\alpha

est une racine de

P

multiplicité

{\displaystyle n\in \mathbb {N} }

si, et seulement si,

P(\alpha )=P^{\prime }(\alpha )=\dots =P^{(n-1)}(\alpha )=0

et

P^{(n)}\neq 0

.

Exercice 1 : décomposition en éléments simples

Décomposer les fractions rationnelles suivantes en éléments simples :

$F_{1}\left(z\right)={\frac {z^{2}+z+1}{\left(z-1\right)^{2}\left(z-2\right)}}$ ;
$F_{2}\left(z\right)={\frac {z^{3}}{\left(z-1\right)\left(z-2\right)}}$ ;
$F_{3}\left(z\right)={\frac {z^{5}+3z+2}{\left(z-1\right)^{2}\left(z-2\right)^{2}}}$ ;
$F_{4}\left(z\right)={\frac {2z^{2}+3z+1}{\left(z+2\right)\left(z+1\right)^{4}}}$ .

Solution

1.

D’après le théorème de la décomposition en éléments simples et vus les degrés du numérateur et du dénominateur, on a

F_{1}\left(z\right)={\frac {a}{z-1}}+{\frac {b}{(z-1)^{2}}}+{\frac {c}{z-2}}

, soit

z^{2}+z+1=a\left(z-1\right)\left(z-2\right)+b\left(z-2\right)+c\left(z-1\right)^{2}

.

En posant

z=2

, on trouve que

c=7

; en posant

z=1

, on trouve que

b=-3

.

En prenant un équivalent quand

z\to \infty

, on obtient

a=1-c=-6

, d'où

F_{1}\left(z\right)=-{\frac {6}{z-1}}-{\frac {3}{(z-1)^{2}}}+{\frac {7}{z-2}}

.

2.

D’après le théorème de la décomposition en éléments simples et vus les degrés du numérateur et du dénominateur, on a

F_{2}\left(z\right)=cz+d+{\frac {a}{z-1}}+{\frac {b}{z-2}}

, soit

z^{3}=\left(cz+d\right)\left(z-1\right)\left(z-2\right)+a\left(z-2\right)+b\left(z-1\right)

.

En posant

z=2

, on obtient

b=8

; en posant

z=1

, on obtient

a=-1

.

En prenant un équivalent quand

z\to \infty

, on obtient

c=1

.

En posant

z=0

, on obtient

d={\frac {2a+b}{2}}=3

, d'où

F_{2}\left(z\right)=z+3-{\frac {1}{z-1}}+{\frac {8}{z-2}}

.

3.

D’après le théorème de la décomposition en éléments simples et vus les degrés du numérateur et du dénominateur, on a

F_{3}\left(z\right)=ez+f+{\frac {a}{z-1}}+{\frac {b}{(z-1)^{2}}}+{\frac {c}{z-2}}+{\frac {d}{(z-2)^{2}}}

, soit

z^{5}+3z+2=\left(ez+f\right)\left(z-1\right)^{2}\left(z-2\right)^{2}+a\left(z-1\right)\left(z-2\right)^{2}+b\left(z-2\right)^{2}+c\left(z-1\right)^{2}\left(z-2\right)+d\left(z-1\right)^{2}

.

En posant

z=1

, on obtient

b=6

; en posant

z=2

, on obtient

d=40

.

En prenant un équivalent quand

z\to \infty

, on obtient

e=1

.

On obtient alors

{\frac {z^{5}+3z+2}{\left(z-1\right)^{2}\left(z-2\right)^{2}}}=z+f+{\frac {a}{z-1}}+{\frac {6}{(z-1)^{2}}}+{\frac {c}{z-2}}+{\frac {40}{(z-2)^{2}}}

.

En posant par exemple

z=0,-1,-2

, on obtient le système d’équations

{\begin{cases}2f-2a-c&=-31\\2f-a-2{\frac {c}{3}}&=-10\\12f-4a-3c&=-17.\end{cases}}

On le résout et l'on trouve que

f=6

,

a=20

et

c=3

, d'où

F_{3}\left(z\right)=z+6+{\frac {20}{z-1}}+{\frac {6}{(z-1)^{2}}}+{\frac {3}{z-2}}+{\frac {40}{(z-2)^{2}}}

.

4.

F_{4}\left(z\right)={\frac {2z+1}{\left(z+2\right)\left(z+1\right)^{3}}}

.

D’après le théorème de la décomposition en éléments simples et vus les degrés du numérateur et du dénominateur, on a

F_{4}\left(z\right)={\frac {a}{z+2}}+{\frac {b}{z+1}}+{\frac {c}{\left(z+1\right)^{2}}}+{\frac {d}{\left(z+1\right)^{3}}}

, soit (après changement de variable

x=z+1

) :

2x-1=ax^{3}+\left(x+1\right)\left(bx^{2}+cx+d\right)

.

En posant

x=-1

, on obtient

a=3

, puis

bx^{2}+cx+d={\frac {-3x^{3}+2x-1}{x+1}}=-3x^{2}+3x-1

, d'où

F_{4}\left(z\right)={\frac {3}{z+2}}-{\frac {3}{z+1}}+{\frac {3}{\left(z+1\right)^{2}}}-{\frac {1}{\left(z+1\right)^{3}}}

.

Exercice 2 : sommes

Calculer, pour $n\in \mathbb {N}$ , les sommes suivantes :

$A_{n}=\sum _{\overset {\left(i,j\right)\in \mathbb {N} ^{2}}{i+j=n}}ij$ ;
$B_{n}=\sum _{\overset {\left(i,j\right)\in \mathbb {N} ^{2}}{1\leq i,j\leq n}}\min \left(i,j\right)$ ;
$C_{n}=\sum _{\overset {\left(i,j\right)\in \mathbb {N} ^{2}}{1\leq i,j\leq n}}|i-j|$ ;
$D_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}}$ .

Solution

Voir, dans la leçon « Sommation », les exercices 4-2 et 4-3 et l'exercice 2-4.

Exercice 3 : systèmes linéaires

On considère le système $\left(S\right)$ :

{\begin{cases}x&-&my&+&m^{2}z&=&2m\\mx&-&m^{2}y&+&mz&=&2m\\mx&+&y&-&m^{3}z&=&1-m.\end{cases}}

Déterminer les valeurs du paramètre $m$ pour lesquelles $\left(S\right)$ est de Cramer.
Résoudre $\left(S\right)$ lorsqu'il n'est pas de Cramer.

Solution

Voir Systèmes de Cramer/Exercices/Systèmes à paramètre.

Exercice 4 : applications

On cherche les applications $f:\mathbb {R} \setminus \{0,1\}\longrightarrow$ telles que

\forall x\in \mathbb {R} \setminus \{0,1\},\quad f\left(x\right)+f\left(1-{\frac {1}{x}}\right)=1+x.

1. On note $\varphi$ l'application suivante :

\varphi ~:{\begin{aligned}\mathbb {R} \setminus \{0,1\}&\longrightarrow \mathbb {R} \\x&\longmapsto 1-{\frac {1}{x}}\end{aligned}}

1.1. Montrer que

\varphi

induit une bijection de l'ensemble

\mathbb {R} \setminus \{0,1\}

dans lui-même. L'application induite sera notée

\psi

:

\psi ~:{\begin{aligned}\mathbb {R} \setminus \{0,1\}&\longrightarrow \mathbb {R} \setminus \{0,1\}\\x&\longmapsto \varphi \left(x\right)\end{aligned}}

1.2. Déterminer les applications

\psi \circ \psi

et

\psi ^{-1}

.

2. Conclure.

Solution

Voir Opérations sur les fonctions/Exercices/Composition.

Exercice 5 : sommes avec la suite de Fibonacci

On définit la suite de Fibonacci $\left(F_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ par

F_{0}=0,\quad F_{1}=1\quad {\text{et}}\quad \forall n\geq 0\quad F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}.

1. Calculer $F_{n}$ pour $0\leq n\leq 9$ .

2. Soit $n\in \mathbb {N}$ . Calculer les sommes suivantes :

2.1

A_{n}=\sum _{0\leq k<n}F_{2k+1},\quad B_{n}=\sum _{0\leq k<n}F_{2k}

(on pourra pour cela transformer ces sommes en des sommes télescopiques) ;

2.2

C_{n}=\sum _{0\leq k<n}F_{k}

;

2.3

D_{n}=\sum _{k=0}^{n}F_{k}^{2}

.

3.

3.1 Établir que l'on a :

\forall p\in \mathbb {N} \ \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad F_{p+n}=F_{p+1}F_{n}+F_{p}F_{n-1}

.

3.2 En déduire une expression des nombres

F_{2n+1}

et

F_{2n}

en fonction de

F_{n-1}

,

F_{n}

,

F_{n+1}

uniquement.

4. Pour $n\in \mathbb {N} ^{*}$ , on pose $E_{n}=F_{n+1}^{3}+F_{n}^{3}-F_{n-1}^{3}$ .

L'objet de la question est de prouver que les nombres $E_{n}$ sont des termes de la suite de Fibonacci.

4.1 Calculer

E_{n}

pour

1\leq n\leq 5

. Que conjecture-t-on ?

4.2 À l'aide de la question précédente, établir une expression de

F_{3n}

en fonction de

F_{n-1}

,

F_{n}

,

F_{2n}

et

F_{2n+1}

, puis en fonction de

F_{n-1}

,

F_{n}

et

F_{n+1}

.
Conclure.

Solution

1. et 3.1 : voir Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Récurrence linéaire d'ordre 2#Suite de Fibonacci, qui explique de plus comment étendre la suite aux indices négatifs. Par exemple : $F_{-1}=1$ , de manière à avoir $F_{-1}+F_{0}=F_{1}$ .

2.

2.1

A_{n}=\sum _{0\leq k<n}(F_{2k+2}-F_{2k})=F_{2n}-F_{0}=F_{2n}

et

B_{n}=\sum _{0\leq k<n}(F_{2k+1}-F_{2k-1})=F_{2n-1}-F_{-1}=F_{2n-1}-1

.

2.2 On en déduit que

C_{n}=F_{n+1}-1

car :

si $n=2m$ alors $C_{n}=B_{m}+A_{m}=(F_{2m-1}-1)+F_{2m}=F_{2m+1}-1$ ;
si $n=2m+1$ alors $C_{n}=B_{m+1}+A_{m}=(F_{2m+1}-1)+F_{2m}=F_{2m+2}-1$ .

2.3

D_{n}=F_{n}F_{n+1}

, par récurrence simple.

3.2 $F_{2n+1}=F_{n+(n+1)}=F_{n+1}^{2}+F_{n}^{2}$ et $F_{2n}=F_{n+n}=F_{n}(F_{n+1}+F_{n-1})$ .

4. (Pour une autre méthode, voir Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Suites récurrentes linéaires#Exercice 3.)

4.1 Pour

1\leq n\leq 3

,

E_{n}=F_{3n}

.

4.2

{\begin{aligned}F_{3n}&=F_{2n+n}=F_{2n+1}F_{n}+F_{2n}F_{n-1}\\&=F_{n}(F_{n+1}^{2}+F_{n}^{2}+F_{n+1}F_{n-1}+F_{n-1}^{2})\\&=F_{n}^{3}+(F_{n+1}-F_{n-1})(F_{n+1}^{2}+F_{n+1}F_{n-1}+F_{n-1}^{2})\\&=F_{n}^{3}+F_{n+1}^{3}-F_{n-1}^{3}=E_{n}.\end{aligned}}

Exercice 6 : dénombrement, vocabulaire ensembliste et sommes

Soient $E$ et $F$ des ensembles finis de cardinal $n$ et $p$ respectivement. On suppose $E$ non vide. On note $S\left(n,p\right)$ le nombre de surjections de $E$ dans $F$ .

1. Déterminer $S\left(n,p\right)$ lorsque $n<p$ .

2. Calculer $S\left(n,0\right)$ , $S\left(n,1\right)$ et $S\left(n,n\right)$ .

3. Lorsque $p=2$ , quelles sont les applications non surjectives de $E$ dans $F$ ? En déduire $S\left(n,2\right)$ .

4. En s'inspirant de la question précédente, montrer que $S\left(n,3\right)=3^{n}-3-3S\left(n,2\right)$ . En déduire $S\left(n,3\right)$ .

5. On revient au cas général.
Pour $k\in [\![0,p]\!]$ , on pose

A_{k}=\left\{f\in F^{E}\mid {\textrm {card}}\left(f\left(E\right)\right)=k\right\}

.

5.1 Justifier que l'on a

5.1.1.

{\textrm {card}}\left(A_{k}\right)={\binom {p}{k}}S\left(n,k\right)

.

5.1.2.

p^{n}=\sum _{k=0}^{p}{\binom {p}{k}}S\left(n,k\right)

.

5.2. En déduire la formule suivante.

S\left(n,p\right)=\sum _{k=0}^{p}\left(-1\right)^{p+k}{\binom {p}{k}}k^{n}

.

Solution

Voir principalement Formule d'inversion de Pascal/Application au dénombrement des surjections.

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