Systèmes de Cramer/Exercices/Systèmes à paramètre

On considère le système $\left(S\right)$ :

{\begin{cases}x&-&my&+&m^{2}z&=&2m\\mx&-&m^{2}y&+&mz&=&2m\\mx&+&y&-&m^{3}z&=&1-m.\end{cases}}

Résoudre $\left(S\right)$ , en précisant les valeurs de $m$ pour lesquelles il est de Cramer.

Solution

Si $m=0$ ,
$(S)\Leftrightarrow {\begin{cases}x=0\\y=1\\z{\text{ quelconque.}}\end{cases}}$
Si $m\neq 0$ $m\neq 0$ ,
${\begin{aligned}(S)&\Leftrightarrow {\begin{cases}x&-&my&+&m^{2}z&=&2m\\x&-&my&+&z&=&2\\mx&+&y&-&m^{3}z&=&1-m\end{cases}}\\&\Leftrightarrow {\begin{cases}x&-&my&+&m^{2}z&=&2m\\&&&&(1-m^{2})z&=&2(1-m)\\&&(1+m^{2})y&-&2m^{3}z&=&1-m-2m^{2}.\end{cases}}\end{aligned}}$
- Si $m=1$ ,
  ${\begin{aligned}(S)&\Leftrightarrow {\begin{cases}x&-&y&+&z&=&2\\&&2y&-&2z&=&-2\end{cases}}\\&\Leftrightarrow {\begin{cases}y=z-1\\x=y-z+2\end{cases}}\\&\Leftrightarrow {\begin{cases}y=z-1\\x=1\\z{\text{ quelconque.}}\end{cases}}\end{aligned}}$
- Si $m=-1$ , $(S)$ n'a pas de solution car la deuxième équation devient $0z=4$ .
- Si $m\neq 0,1,-1$ , $(S)$ est de Cramer et
  ${\begin{aligned}(S)&\Leftrightarrow {\begin{cases}z={\frac {2}{1+m}}\\y={\frac {2m^{3}z+1-m-2m^{2}}{1+m^{2}}}\\x=my-m^{2}z+2m\end{cases}}\\&\Leftrightarrow {\begin{cases}z={\frac {2}{1+m}}\\y={\frac {(m-1)^{2}(2m+1)}{(1+m^{2})(1+m)}}\\x={\frac {m(2m^{2}-3m+3)}{1+m^{2}}}.\end{cases}}\end{aligned}}$

On considère le système linéaire

(S):{\begin{cases}mx+y+2z=a\\2x+my+z=b\\x+2y+mz=c\end{cases}}

dépendant des paramètres réels $m,a,b,c$ .

Solution

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