Opérations sur les fonctions/Exercices/Composition

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Exercice 1

On note $h$ l'application définie sur $\mathbb {R} \setminus \{0,1\}$ par : $h\left(x\right)=1-{\frac {1}{x}}$ . Vérifier que $h$ est à valeurs dans $\mathbb {R} \setminus \{0,1\}$ et calculer $h\circ h\left(x\right)$ et $h\circ h\circ h\left(x\right)$ .
Soit $f:\mathbb {R} \setminus \{0,1\}\to \mathbb {R}$ une application telle que (pour tout $x\in \mathbb {R} \setminus \{0,1\}$ )
$f\left(x\right)+f\circ h\left(x\right)=ax+b$ .
Calculer, en fonction de $x$ , $f\left(x\right)$ , $h\left(x\right)$ et $h\circ h\left(x\right)$ , les valeurs de $f\circ h\left(x\right)$ , $f\circ h\circ h\left(x\right)$ et $f\circ h\circ h\circ h\left(x\right)$ .
En déduire que pour tout $x\in \mathbb {R} \setminus \{0,1\}$ , $f\left(x\right)={\frac {ah\circ h\left(x\right)-ah\left(x\right)+ax+b}{2}}$ .
Vérifier que réciproquement, la fonction $g:\mathbb {R} \setminus \{0,1\}\to \mathbb {R}$ définie par $g\left(x\right)={\frac {ah\circ h\left(x\right)-ah\left(x\right)+ax+b}{2}}$ vérifie $g\left(x\right)+g\circ h\left(x\right)=ax+b$ .

Solution

Pour tout $x\in \mathbb {R} \setminus \{0,1\}$ :

- $h\left(x\right)\neq 0$ car ${\frac {1}{x}}\neq 1$ car $x\neq 1$ ,
- $h\left(x\right)\neq 1$ car ${\frac {1}{x}}\neq 0$ car $x\times {\frac {1}{x}}=1\neq 0$ ,
- $h\circ h\left(x\right)=1-{\frac {1}{1-{\frac {1}{x}}}}=1-{\frac {x}{x-1}}={\frac {1}{1-x}}$ ,
- $h\circ h\circ h\left(x\right)={\frac {1}{1-h\left(x\right)}}={\frac {1}{\frac {1}{x}}}=x$ ;
- $f\circ h\left(x\right)=ax+b-f\left(x\right)$ par hypothèse sur $f$ ,
- $f\circ h\circ h\left(x\right)=ah\left(x\right)+b-f\circ h\left(x\right)=ah\left(x\right)+b-\left(ax+b-f\left(x\right)\right)=ah\left(x\right)-ax+f\left(x\right)$ ,
- $f\circ h\circ h\circ h\left(x\right)=ah\circ h\left(x\right)-ah\left(x\right)+f\circ h\left(x\right)=ah\circ h\left(x\right)-ah\left(x\right)+ax+b-f\left(x\right)$ ;
$f\circ h\circ h\circ h\left(x\right)=f\left(x\right)$ d'après la question 1, d'où le résultat (d'après la fin de la question 2).
Si (pour tout $x\in \mathbb {R} \setminus \{0,1\}$ ) $g\left(x\right)={\frac {ah\circ h\left(x\right)-ah\left(x\right)+ax+b}{2}}$ alors $g\circ h\left(x\right)={\frac {ax-ah\circ h\left(x\right)+ah\left(x\right)+b}{2}}$ donc $g\left(x\right)+g\circ h\left(x\right)=ax+b$ .

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