1. ${\displaystyle u_{0}=3\in \mathbb {Z} }$ et (puisque ${\displaystyle (X-\alpha )(X-\beta )(X-\gamma )=X^{3}-aX^{2}-bX-c}$) ${\displaystyle u_{1}=a\in \mathbb {Z} }$ et ${\displaystyle -b=\alpha \beta +\alpha \gamma +\beta \gamma }$ donc ${\displaystyle u_{2}=u_{1}^{2}+2b=a^{2}+2b\in \mathbb {Z} }$.
2. ${\displaystyle \alpha ^{n+3}-a\alpha ^{n+2}-b\alpha ^{n+1}-c\alpha ^{n}=\alpha ^{n}P(\alpha )=0}$.
3. Montrons par récurrence que ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n},u_{n+1},u_{n+2}\in \mathbb {Z} }$. L'initialisation est la question 1, et l'hérédité (${\displaystyle u_{n},u_{n+1},u_{n+2}\in \mathbb {Z} \Rightarrow u_{n+1},u_{n+2},u_{n+3}\in \mathbb {Z} }$, ou encore : ${\displaystyle u_{n},u_{n+1},u_{n+2}\in \mathbb {Z} \Rightarrow u_{n+3}\in \mathbb {Z} }$) vient de la relation ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n+3}=au_{n+2}+bu_{n+1}+cu_{n}}$, qui se déduit de la question 2 (et de son analogue pour ${\displaystyle \beta }$ et ${\displaystyle \gamma }$).

1.  Si ${\displaystyle S^{2}\neq 4P}$, le polynôme ${\displaystyle X^{2}-SX+P}$ a deux racines distinctes ${\displaystyle r_{1},r_{2}}$, et il existe des constantes ${\displaystyle a,b}$ telles que

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad x_{n}=ar_{1}^{n}+br_{2}^{n}}$.

On a alors ${\displaystyle y_{n}=aR_{1}^{n}+bR_{2}^{n}}$ pour ${\displaystyle R_{1}:=r_{1}^{2},R_{2}:=r_{2}^{2}}$, racines du polynôme ${\displaystyle \left(X-r_{1}^{2}\right)\left(X-r_{2}^{2}\right)=X^{2}-\left(S^{2}-2P\right)X+P^{2}}$. Par conséquent,

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad y_{n+2}=\left(S^{2}-2P\right)y_{n+1}-P^{2}y_{n}}$.

On a de plus ${\displaystyle z_{n}=\left(ar_{1}^{n}+br_{2}^{n}\right)^{2}=a^{2}R_{1}^{n}+b^{2}R_{2}^{n}+2abR_{3}^{n}}$ pour ${\displaystyle R_{3}:=r_{1}r_{2}=P}$. Les trois nombres ${\displaystyle R_{1},R_{2},R_{3}}$ sont racines du polynôme

${\displaystyle \left(X^{2}-\left(S^{2}-2P\right)X+P^{2}\right)\left(X-P\right)=X^{3}+\left(P-S^{2}\right)\left(X^{2}-PX\right)-P^{3}}$.

Par conséquent,

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad z_{n+3}=\left(S^{2}-P\right)\left(z_{n+2}-Pz_{n+1}\right)+P^{3}z_{n}}$.

La suite ${\displaystyle y}$ vérifie aussi cette relation, puisque ${\displaystyle y_{n}=aR_{1}^{n}+bR_{2}^{n}+0R_{3}^{n}}$.

2.  On pourrait effectuer les calculs ci-dessus de façon générique en considérant ${\displaystyle S,P,x_{0},x_{1}}$ comme quatre indéterminées polynomiales, mais on peut aussi, plus élémentairement, vérifier « à la main » les relations trouvées :

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{n+2}+P^{2}y_{n}&=Sx_{2n+3}-Px_{2n+2}+P\left(Sx_{2n+1}-x_{2n+2}\right)\\&=S\left(x_{2n+3}+Px_{2n+1}\right)-2Px_{2n+2}\\&=\left(S^{2}-2P\right)y_{n+1}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}z_{n+3}-P^{3}z_{n}&=\left(Sx_{n+2}-Px_{n+1}\right)^{2}-P\left(Sx_{n+1}-x_{n+2}\right)^{2}\\&=\left(S^{2}-P\right)\left(z_{n+2}-Pz_{n+1}\right)\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{n+3}-P^{3}y_{n}&=\left(S^{2}-2P\right)y_{n+2}-P^{2}y_{n+1}-P\left(\left(S^{2}-2P\right)y_{n+1}-y_{n+2}\right)\\&=\left(S^{2}-P\right)\left(y_{n+2}-Py_{n+1}\right)\end{aligned}}}$

3.  D'après ce qui précède, la suite ${\displaystyle w}$ définie par ${\displaystyle w_{n}:=v_{2n}}$ vérifie la même récurrence d'ordre 2 que la suite ${\displaystyle u}$, et les quatre suites ${\displaystyle \left(u_{n}^{2}\right),\left(w_{n}^{2}\right),\left(u_{2n}\right),\left(w_{2n}\right)}$ vérifient une même récurrence linéaire d'ordre 3.

D'après les hypothèses, ${\displaystyle x_{n}=a(r^{n}-r'^{n})}$ avec ${\displaystyle r+r'=S}$ et ${\displaystyle rr'=P}$. On peut de plus supposer ${\displaystyle P\neq 0}$ car le cas d'une suite géométrique est immédiat.

${\displaystyle x_{n}^{3}=a^{3}\left(r^{3n}-r^{3n}-3P^{n}(r^{n}-r'^{n})\right)=a^{2}(x_{3n}-3P^{n}x_{n})}$

donc

${\displaystyle x_{n+1}^{3}+Ax_{n}^{3}+Bx_{n-1}^{3}=a^{2}\left(x_{3n+3}+Ax_{3n}+Bx_{3n-3}-3P^{n}(Px_{n+1}+Ax_{n}+BP^{-1}x_{n-1})\right)}$.

En choisissant ${\displaystyle A=-SP}$ et ${\displaystyle B=P^{3}}$, il reste :

${\displaystyle x_{n+1}^{3}-SPx_{n}^{3}+P^{3}x_{n-1}^{3}=a^{2}\left(x_{3n+3}-SPx_{3n}+P^{3}x_{3n-3}\right)}$.

Mais ${\displaystyle r}$ et ${\displaystyle r'}$ sont solutions de ${\displaystyle S^{3}=x^{3}+{\frac {P^{3}}{x^{3}}}+3SP}$. Par conséquent, ${\displaystyle x_{k+3}+P^{3}x_{k-3}=(S^{2}-3SP)x_{k}}$ et il reste en fait seulement :

${\displaystyle x_{n+1}^{3}-SPx_{n}^{3}+P^{3}x_{n-1}^{3}=a^{2}(S^{2}-4SP)x_{3n}=x_{1}x_{2}x_{3n}}$.

1. 1. ${\displaystyle y_{n+1}=x_{n+2}(Sx_{n+1}-Px_{n})-x_{n+1}(Sx_{n+2}-Px_{n+1})=-Px_{n+2}Px_{n}+Px_{n+1}^{2}=Py_{n}}$ et
      ${\displaystyle z_{n}=x_{n}(Sx_{n+2}-Px_{n+1})-x_{n+1}(Sx_{n+1}-Px_{n})=S(x_{n}x_{n+2}-x_{n+1}^{2})=-Sy_{n}}$.
   2. ${\displaystyle x_{i}y_{i-4}+x_{i-1}z_{i-4}+x_{i-2}y_{i-3}=x_{i}P^{i-4}y_{0}-x_{i-1}SP^{i-4}y_{0}+x_{i-2}P^{i-3}y_{0}=P^{i-4}y_{0}\left(x_{i}-Sx_{i-1}+Px_{i-2}\right)=0}$.
2. Soit ${\displaystyle 4\leq i\leq n}$ tel que ${\displaystyle (*)}$ soit vérifiée pour tout ${\displaystyle k<i-2}$, montrons qu'elle l'est encore pour ${\displaystyle k=i-2}$.
   On déduit de l'hypothèse de récurrence ci-dessus, comme dans la question 1.1 : ${\displaystyle \forall j\leq i-3\quad y_{j}=P^{j}y_{0}}$ et ${\displaystyle \forall j\leq i-4\quad z_{j}=-SP^{j}y_{0}}$.
   L'hypothèse ${\displaystyle (**)}$ se réécrit alors : ${\displaystyle P^{i-4}y_{0}\left(x_{i}-Sx_{i-1}+Px_{i-2}\right)=0}$, et l'on conclut en simplifiant par ${\displaystyle P^{i-4}y_{0}}$.