1. ${\displaystyle \mathbb {R} \times \left]0,1\right[}$ ;
2. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\setminus \mathbb {Z} ^{2}}$.

• ${\displaystyle 2\Rightarrow 1}$ car tout convexe ${\displaystyle 0}$-symétrique ${\displaystyle C}$ de volume ${\displaystyle >2^{n}}$ contient un convexe ${\displaystyle 0}$-symétrique compact de volume ${\displaystyle 2^{n}}$ : si ${\displaystyle \operatorname {vol} (C)<+\infty }$ alors ${\displaystyle k:={\frac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{\operatorname {vol} (C)}}>1}$ donc ${\displaystyle {\frac {1}{k}}\,{\overline {C}}\subset {\stackrel {\ \circ }{C}}\subset C}$ (cf. Topologie générale/Exercices/Espaces topologiques#Exercice 2 : Mesurabilité des convexes). Si ${\displaystyle \operatorname {vol} (C)=+\infty }$, remplacer au préalable ${\displaystyle C}$ par ${\displaystyle C\cap B\left(0,R\right)}$ avec ${\displaystyle R}$ suffisamment grand pour que le volume reste ${\displaystyle >2^{n}}$.
• ${\displaystyle 1\Rightarrow 2}$ car si ${\displaystyle C}$ est compact et si ${\displaystyle \forall j\in \mathbb {N} ^{*}\quad \exists z_{j}\in \left(\mathbb {Z} ^{n}\setminus \{0\}\right)\cap \left(1+{\frac {1}{j}}\right)C}$, la suite ${\displaystyle \left(z_{j}\right)}$ est bornée donc (quitte à la remplacer par une sous-suite) convergente : ${\displaystyle z_{j}\to z}$. Alors, ${\displaystyle z}$ appartient au fermé ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}\setminus \{0\}}$, mais aussi au fermé ${\displaystyle C}$ car ${\displaystyle {\frac {1}{1+{\frac {1}{j}}}}z_{j}\to z}$. (Variante de raisonnement, évitant d'extraire une sous-suite : la suite ${\displaystyle \left(z_{j}\right)}$, à valeurs discrètes et bornées, prend une infinité de fois la même valeur ${\displaystyle z}$. Alors, ${\displaystyle {\frac {1}{1+{\frac {1}{j}}}}z\in C}$ pour des ${\displaystyle j}$ arbitrairement grands, donc la limite ${\displaystyle z}$ appartient au fermé ${\displaystyle C}$.)

1. En notant ${\displaystyle \mathbb {1} _{Y}}$ l'indicatrice de toute partie ${\displaystyle Y}$ de ${\displaystyle X}$, on a ${\displaystyle \int _{\cup _{j}X_{j}}\sum _{n}\mathbb {1} _{X_{n}}\ \mathrm {d} \mu >\int _{\cup _{j}X_{j}}r\ \mathrm {d} \mu }$ donc la fonction ${\displaystyle \sum _{n}\mathbb {1} _{X_{n}}}$ est strictement supérieure à ${\displaystyle r}$ en au moins un point^[1].
2. • Supposons ${\displaystyle \operatorname {vol} (R)>r}$ et notons ${\displaystyle D:=\left[0,1\right[^{n}}$. Par les mêmes arguments que dans le cas ${\displaystyle r=1}$ (lemme de Blichfeldt du cours), on a :
     ${\displaystyle \sum _{u\in \mathbb {Z} ^{n}}\operatorname {vol} \left((R-u)\cap D\right)>r\,\operatorname {vol} \left(\cup _{u\in \mathbb {Z} ^{n}}(R-u)\cap D\right)}$.
     D'après le principe des tiroirs, il existe donc au moins un point ${\displaystyle z\in D}$ et ${\displaystyle r+1}$ vecteurs distincts ${\displaystyle u_{0},\dots ,u_{r}\in \mathbb {Z} ^{n}}$ tels que ${\displaystyle \forall i\in \{0,\dots ,r\}\quad z\in R-u_{i}}$. Les ${\displaystyle r+1}$ points ${\displaystyle x_{i}:=z+u_{i}\in R}$ sont alors distincts, et leurs différences ${\displaystyle x_{i}-x_{j}=u_{i}-u_{j}}$ sont bien à coordonnées entières^[2].
   • Le second point se déduit du premier exactement comme dans l'exercice précédent^[3].

Bibliographie complémentaire : Lekkerkerker, Olds-Lax-Davidoff.

Le covolume de ${\displaystyle \Gamma ={\begin{pmatrix}p&a\\0&1\end{pmatrix}}\left(\mathbb {Z} ^{2}\right)}$ est ${\displaystyle p}$ et l'aire de ${\displaystyle C}$ est ${\displaystyle \pi 2p>2^{2}p}$. D'après le théorème de Minkowski, il existe donc ${\displaystyle \left(x,y\right)\in \Gamma \cap C\setminus \{0\}}$.

• Puisque ${\displaystyle \left(x,y\right)\in \Gamma }$, on a ${\displaystyle x\equiv ay{\bmod {p}}}$ donc ${\displaystyle x^{2}+y^{2}\equiv \left(a^{2}+1\right)y^{2}\equiv 0{\bmod {p}}}$.
• Puisque ${\displaystyle \left(x,y\right)\in C\setminus \{0\}}$, on a ${\displaystyle 0<x^{2}+y^{2}<2p}$.

Par conséquent, ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=p}$.

1. Le covolume de ${\displaystyle \Gamma }$ est ${\displaystyle p^{2}}$ et le volume de ${\displaystyle C}$ est ${\displaystyle \pi ^{2}R^{4}/2=2\pi ^{2}p^{2}>2^{4}p^{2}}$. D'après le théorème de Minkowski, il existe donc ${\displaystyle \left(x,y,z,t\right)\in \Gamma \cap C\setminus \{0\}}$.
   • Puisque ${\displaystyle \left(x,y,z,t\right)\in \Gamma }$, on a ${\displaystyle x\equiv rz+st{\bmod {p}}}$ et ${\displaystyle y\equiv sz-rt{\bmod {p}}}$ donc ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}\equiv \left(r^{2}+s^{2}+1\right)\left(z^{2}+t^{2}\right)\equiv 0{\bmod {p}}}$.
   • Puisque ${\displaystyle \left(x,y,z,t\right)\in C\setminus \{0\}}$, on a ${\displaystyle 0<x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}<2p}$.

   Par conséquent, ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}=p}$.

2. Il suffit, pour compléter l'argument, de vérifier que ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 1}$ et ${\displaystyle 2}$ sont aussi sommes de quatre carrés.

1. Le convexe ${\displaystyle C}$ (${\displaystyle 0}$-symétrique) est un cyclindre oblique de base ${\displaystyle \pi {\frac {4}{\pi n}}}$ et de hauteur ${\displaystyle 2n}$, donc de volume ${\displaystyle 8=2^{3}}$. Il est compact donc contient un point non nul ${\displaystyle \left(a,b,c\right)\in \mathbb {Z} ^{3}}$.
   • Si ${\displaystyle c\neq 0}$, on peut choisir ${\displaystyle c>0}$.
   • Si ${\displaystyle c=0}$, ${\displaystyle 1\leq a^{2}+b^{2}\leq {\frac {4}{\pi n}}}$ donc ${\displaystyle n=1}$, et l'on cherche un autre ${\displaystyle \left(a,b\right)\in \mathbb {Z} ^{2}}$ (avec ${\displaystyle c=1}$) tel que ${\displaystyle \left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}\leq {\frac {4}{\pi }}}$.
     En prenant les deux entiers les plus proches de ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle y}$, on a bien ${\displaystyle (1/2)^{2}+(1/2)^{2}=1/2<{\frac {4}{\pi }}}$.
2. Un cas particulier du corollaire du théorème de Minkowski sur les formes linéaires est :
   ${\displaystyle \forall b_{1},\dots ,b_{d}\in \mathbb {R} \quad \forall Q\geq 1\quad \exists q\in \mathbb {Z} ^{d}\setminus \{0\}\quad |q_{j}|\leq Q\quad {\text{et}}\quad d\left(\sum b_{j}q_{j},\,\mathbb {Z} \right)<Q^{-d}}$.
   Pour ${\displaystyle d=2,b_{1}=x,b_{2}=y,Q=n}$, il donne : ${\displaystyle \exists (a,b)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{0\}\quad |a|,|b|\leq n\quad {\text{et}}\quad d(ax+by,\mathbb {Z} )<1/n^{2}}$.

Appliquons le théorème de Minkowski pour les formes linéaires à ${\displaystyle L_{1}=ax-y-mz,L_{2}=x,L_{3}=y,\lambda _{1}=1,\lambda _{2}=X,\lambda _{3}=m/X}$. Alors, ${\displaystyle \det A=m=\prod \lambda _{i}}$ donc il existe un vecteur non nul ${\displaystyle \left(x,y,z\right)\in \mathbb {Z} ^{3}}$ tel que ${\displaystyle \left|ax-y-mz\right|<1}$ (donc ${\displaystyle ax=y+mz}$), ${\displaystyle |x|<X}$ et ${\displaystyle |y|\leq m/X}$. De plus, ${\displaystyle x\neq 0}$ car sinon, on aurait ${\displaystyle \left(0,0,0\right)\neq \left(x,y,z\right)=\left(0,mz,z\right)}$ donc ${\displaystyle z\neq 0}$ et ${\displaystyle |mz|\leq m/X}$, c'est-à-dire ${\displaystyle 1\leq |z|\leq 1/X}$, ce qui est exclu car ${\displaystyle X>1}$. On peut donc choisir ${\displaystyle x>0}$ (en remplaçant si nécessaire ${\displaystyle \left(x,y,z\right)}$ par son opposé).

• 1^re méthode (Hardy et Wright theorem 200, en rectifiant la ligne 5 de leur preuve) : partitionnons le « cube unité semi-ouvert » ${\displaystyle \left[0,1\right[^{m}}$ en ${\displaystyle n^{m}}$ sous-cubes semi-ouverts de côté ${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$. En notant ${\displaystyle \{y\}=y-\lfloor y\rfloor \in \left[0,1\right[}$ la partie fractionnaire de tout réel ${\displaystyle y}$, considérons les ${\displaystyle n^{m}+1}$ points (non nécessairement distincts)
  ${\displaystyle P_{k}:=\left(\{kx_{1}\},\{kx_{2}\},\dots ,\{kx_{m}\}\right)\in \left[0,1\right[^{m},\quad k\in \left\{0,\dots ,n^{m}\right\}.}$
  D'après le principe des tiroirs, l'un des ${\displaystyle n^{m}}$ sous-cubes contient deux de ces points, ${\displaystyle P_{j}}$ et ${\displaystyle P_{k}}$ avec ${\displaystyle 0\leq j<k\leq n^{m}}$. Alors, l'entier ${\displaystyle q:=k-j}$ vérifie ${\displaystyle 1\leq q\leq n^{m}}$ et pour tout ${\displaystyle i\in \left\{1,\dots ,m\right\}}$, l'entier ${\displaystyle p_{i}:=\lfloor kx_{i}\rfloor -\lfloor jx_{i}\rfloor }$ vérifie ${\displaystyle \left|qx_{i}-p_{i}\right|=\left|\{kx_{i}\}-\{jx_{i}\}\right|<{\frac {1}{n}}}$.
• 2^e méthode : posons ${\displaystyle r=m+1}$, ${\displaystyle L_{1}\left(q,p_{1},\dots ,p_{m}\right)=q}$, ${\displaystyle \lambda _{1}=n^{m}}$ et pour tout ${\displaystyle i\in \left\{1,\dots ,m\right\}}$,
  ${\displaystyle L_{i+1}\left(q,p_{1},\dots ,p_{m}\right)=x_{i}q-p_{i}\quad {\text{et}}\quad \lambda _{i+1}={\frac {1}{n}}}$.
  La matrice ${\displaystyle A\in \operatorname {M} _{r}(\mathbb {R} )}$ associée aux ${\displaystyle L_{i}}$ est triangulaire et ${\displaystyle |\det A|=\left|(-1)^{m}\right|=1=\prod _{i=1}^{r}\lambda _{i}}$
  donc d'après le théorème de Minkowski pour des formes linéaires, il existe ${\displaystyle \left(q,p_{1},\dots ,p_{m}\right)\in \mathbb {Z} ^{m+1}\setminus \{0\}}$ tel que
  ${\displaystyle |q|\leq n^{m}\quad {\text{et}}\quad \forall i\in \left\{1,\dots ,m\right\}\quad \left|qx_{i}-p_{i}\right|<{\frac {1}{n}}}$.
  L'entier ${\displaystyle q}$ est alors forcément non nul, sinon tous les entiers ${\displaystyle p_{i}}$ le seraient aussi car on aurait ${\displaystyle \left|p_{i}\right|<{\frac {1}{n}}}$. On peut donc se ramener au cas ${\displaystyle q>0}$ en remplaçant si nécessaire ${\displaystyle \left(q,p_{1},\dots ,p_{m}\right)}$ par son opposé.