Département

Théorie des nombres

Chapitres

Chap. 1 :	Nombres premiers et fonctions arithmétiques
Chap. 2 :	Approximation diophantienne et fractions continues
Chap. 3 :	Séries et produits infinis formels
Chap. 4 :	Résidus quadratiques
Chap. 5 :	Formes quadratiques entières
Chap. 6 :	Géométrie des nombres

Annexes

Annexe :	Démonstration de la transcendance de e et pi

Exercices

Exos. 1 :	Nombres premiers et fonctions arithmétiques
Exos. 2 :	Approximation diophantienne et fractions continues
Exos. 3 :	Séries et produits infinis formels
Exos. 4 :	Résidus quadratiques
Exos. 5 :	Formes quadratiques entières
Exos. 6 :	Géométrie des nombres

Devoirs

Devoir 1 :	Théorème des deux carrés de Jacobi
Devoir 2 :	Nombres équivalents
Devoir 3 :	Groupe des inversibles de ℤ/nℤ
Devoir 4 :	Principe local-global pour les carrés
Devoir 5 :	Équation de Pell-Fermat

Interwikis

Cette leçon s'inspire du classique G. H. Hardy et E. M. Wright (trad. François Sauvageot, préf. Catherine Goldstein), Introduction à la théorie des nombres [« An Introduction to the Theory of Numbers »] , qui permet de faire connaissance avec les principaux thèmes de la théorie des nombres classique, sans beaucoup de prérequis.

Le cours s'organise en six chapitres de deux heures, accompagnés d'exercices d'application :

• Chapitre 1 : Nombres premiers et fonctions arithmétiques (arithmétique élémentaire, convolution de Dirichlet et inversion de Moebius, tour d'horizon sur quelques théorèmes et conjectures célèbres)
• Chapitre 2 : Approximation diophantienne et fractions continues. (Mesure d'irrationalité. Théorème de Liouville. Fractions continues. Entiers quadratiques.)
• Chapitre 3 : Séries et produits infinis formels. (Partitions d'un entier. Identités d'Euler, du triple produit de Jacobi et des nombres pentagonaux.)
• Chapitre 4 : Résidus quadratiques. (Symbole de Legendre. Loi de réciprocité quadratique.)
• Chapitre 5 : Formes quadratiques entières. (Représentabilité d'un entier par une forme quadratique. Classes d'équivalence. Réduction.)
• Chapitre 6 : Géométrie des nombres (convexes et réseaux, théorèmes de Minkowski).

Ouvrages de référence (outre Hardy & Wright, qui n'aborde pas la théorie des formes quadratiques) :

• Alan Baker, A Concise Introduction to the Theory of Numbers (la lecture active de cet opuscule est particulièrement recommandée, pour sa concision — malgré sa richesse — et son approche très pédagogique) ;
• Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory ;
• I. Niven, H. S. Zuckerman et H. L. Montgomery, An Introduction to the Theory of Numbers ;
• J. Havil, Gamma: Exploring Euler's Constant ;
• L. E. Dickson, Introduction to the Theory of Numbers (1929, rééd. 1957).

• 
  Un fragment (~100 ?) des Éléments d'Euclide (~–300)
• 
  Édition de 1621 des Arithmétiques de Diophante (~200).
• 
  Fermat (1607-1665).
• 
  Euler (1707-1783).
• 
  Lagrange (1736-1813).
• 
  Caricature de Legendre (1752-1833).
• 
  Gauss (1777-1855)
• 
  Jacobi (1804-1851).
• 
  Tchebychev (1821-1894).
• 
  Hermite (1822-1901).
• 
  Kronecker (1823-1891).
• 
  Minkowski (1864-1909).