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On rappelle que pour algébrique de degré :
- le « conjugué » de , noté , est par définition l'autre racine de son polynôme minimal si , et lui-même si ;
- et si , (cf. exercice 2-7, question 5) ;
- la « trace » de est par définition le rationnel ;
- la « norme » de est par définition le rationnel .
On suppose dans ce problème que est un irrationnel quadratique et l'on note (pour tout ) le -ième quotient complet de son développement en fraction continue. On rappelle qu'il existe deux suites d'entiers, et (nécessairement uniques), telles que et
- .
- Soient les rationnels définis par :
- .
- Développer et simplifier de manière à l'écrire comme la somme de et d'un rationnel.
- On obtient donc : .
- Montrer qu'il n'existe pas d'autre rationnel tel que .
- On suppose désormais que l'irrationnel quadratique est même un « entier quadratique » — c'est-à-dire que les rationnels et sont en fait entiers — et que .
- Montrer que l'entier est strictement supérieur à .
- En déduire que puis, que .
- En déduire que est « réduit », c'est-à-dire et .
- Par conséquent (corollaire de Galois) :
- la fraction continue de est « purement périodique », autrement dit, en notant sa période : ;
- pour tout , est réduit.
- En déduire que :
- les rationnels sont positifs (indication : montrer et utiliser que ) ;
- si et seulement si ;
- si , alors est un multiple de (indication : , d'après le calcul de la question 1 et l'hypothèse ) ;
- réciproquement, si est un multiple de , alors .
- On obtient donc : si et seulement si est un multiple de .
- Application à . Pour résoudre l'équation de Pell-Fermat où est un entier positif non carré, on développe en fraction continue.
- Dans chacun des deux cas suivants, déterminer les ensembles
- et la valeur de pour :
- cas , sachant que ;
- cas , sachant que .
- Dans chacun des deux cas suivants, déterminer les ensembles
Solution
-
- Variante : soit . Au lieu de définir comme dans l'énoncé (et ipso facto rationnel) puis vérifier que , on peut :
- poser a priori puis vérifier par récurrence que les et les sont rationnels :
- retrouver ensuite pour la formule de l'énoncé, par identification des coefficients rationnels dans deux expressions de :
- et (cf. calcul ci-dessus) un rationnel donc .
- poser a priori puis vérifier par récurrence que les et les sont rationnels :
- Plus généralement, pour tout irrationnel et tout nombre , il existe au plus un rationnel tel que . En effet, si alors donc (puisque ) .
- D'après les hypothèses, le polynôme minimal de est , l'entier est positif, et .
- est différent de (car non carré puisque ) et différent de et (car congru à un carré, donc à ou ).
- . Par conséquent, .
-
- En tant que quotient complet d'indice d'une fraction continue infinie, est .
- , donc (d'après la sous-question précédente).
-
- est rationnel donc égal à son conjugué, . Par conséquent, , au moins pour puisqu'on sait qu'alors, est réduit. Quant à , il vaut puisque .
Remarque (inutile pour la suite) : les rationnels sont de plus entiers, car . - Puisque et vue la définition des , .
- Si alors donc et ont même partie fractionnaire, c'est-à-dire . Dès lors, pour tout , donc la période est un diviseur de .
- Réciproquement, si alors donc donc (d'après la question 2) .
- est rationnel donc égal à son conjugué, . Par conséquent, , au moins pour puisqu'on sait qu'alors, est réduit. Quant à , il vaut puisque .
- Puisque , on a, d'après ce qui précède :
- et .
- Pour , donc
- .
- La réduite d'indice de est donc (et ).
- Pour , donc
- .
- La réduite d'indice de est donc (et ).
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Remarque
Les solutions de (pour entier positif non carré) sont en fait :
- obtenues toutes par cette méthode (cf. exercice 2-6, question 4) ;
- « égales aux puissances » de la première d'entre elles, au sens suivant : (cf. la section « Théorème des unités de Dirichlet » de l'article de Wikipédia sur le groupe des unités d'un anneau d'entiers quadratiques).
Les solutions s'en déduisent en replaçant ou (ou les deux) par leurs opposés. Il y a en outre la solution triviale .
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