1. ${\displaystyle {\frac {1}{\prod _{1\leq n\leq k/2}\left(1-X^{2n}\right)}}}$ ;
2. ${\displaystyle {\frac {1}{\prod _{n\in \mathbb {N} ^{*}}\left(1-X^{2n}\right)}}}$ (resp. ${\displaystyle {\frac {1}{\prod _{n\in \mathbb {N} ^{*}}\left(1-X^{2n-1}\right)}}}$) ;
3. ${\displaystyle {\frac {1}{\prod _{n\in \mathbb {N} ^{*}}\left(1-X^{n^{2}}\right)}}}$;
4. ${\displaystyle {\frac {1}{\prod _{p{\text{ premier}}}\left(1-X^{p}\right)}}}$ ;
5. ${\displaystyle \prod _{n\in \mathbb {N} ^{*}}\left(1+X^{n}\right)}$ ;
6. ${\displaystyle \prod _{n\in \mathbb {N} ^{*}}\left(1+X^{n^{2}}\right)}$ ;
7. ${\displaystyle \prod _{p{\text{ premier}}}\left(1+X^{p}\right)}$.

1. ${\displaystyle \prod _{k\in \mathbb {N} ^{*}}\left(1+X^{k}\right)=\prod _{k\in \mathbb {N} ^{*}}{\frac {1-X^{2k}}{1-X^{k}}}={\frac {1}{\prod _{j\in \mathbb {N} }\left(1-X^{2j+1}\right)}}}$.
2. ${\displaystyle \prod _{j\in \mathbb {N} ^{*}}{\frac {1}{1+X^{2j}}}\prod _{j\in \mathbb {N} }{\frac {1}{1-X^{2j+1}}}=\prod _{j\in \mathbb {N} }\left(1+X^{2j+1}\right)}$, d'après la question 1.

1. Il s'agit de montrer qu'il y a ${\displaystyle p(n-1)}$ partitions de ${\displaystyle n}$ avec au moins une partie égale à ${\displaystyle 1}$. Or leurs diagrammes de Ferrers sont en bijection avec ceux des partitions de ${\displaystyle n-1}$ (en supprimant la dernière partie, égale à ${\displaystyle 1}$).
2. L'indication donne une injection, et l'inégalité est stricte car il y a aussi la partition de ${\displaystyle 2n}$ constituée d'une seule partie.

(Pour des illustrations, voir par exemple H&W ou l'article de Wikipédia.)

1. Si, pour chaque élément de ${\displaystyle E}$, une et une seule des deux opérations ${\displaystyle A}$ ou ${\displaystyle B}$ est autorisée, alors l'application qui à tout élément de ${\displaystyle E}$ associe le résultat de cette opération est (une involution de ${\displaystyle E}$ donc) une bijection de ${\displaystyle E}$ dans ${\displaystyle E}$. Comme elle change la parité du nombre de lignes, elle se restreint en une bijection de ${\displaystyle E_{P}}$ (l'ensemble des éléments de ${\displaystyle E}$ ayant un nombre pair de lignes) dans ${\displaystyle E_{I}}$ (l'ensemble des éléments de ${\displaystyle E}$ ayant un nombre impair de lignes) donc ${\displaystyle p_{P}(n)=p_{I}(n)}$.
2. ${\displaystyle A}$ est autorisée si et seulement l'oblique le long de laquelle on veut plaquer la base est suffisamment longue, c'est-à-dire ${\displaystyle o\geq b}$, à l'exception suivante près : si ${\displaystyle o=b}$ et si l'oblique et la base ont un point en commun, ${\displaystyle A}$ est interdite. Notons ${\displaystyle k}$ le nombre de lignes de cette éventuelle partition exceptionnelle. ${\displaystyle n=\sum _{i=0}^{k-1}\left(k+i\right)={\frac {k\left(3k-1\right)}{2}}}$.
3. ${\displaystyle B}$ est autorisée si et seulement la base le long de laquelle on veut plaquer l'oblique est suffisamment longue, c'est-à-dire ${\displaystyle b\geq o+1}$ (pour que la nouvelle suite de lignes soit bien de longueurs strictement décroissantes), à l'exception suivante près : si ${\displaystyle b=o+1}$ et si l'oblique et la base ont un point en commun, ${\displaystyle B}$ est interdite. Notons ${\displaystyle k}$ le nombre de lignes de cette éventuelle partition exceptionnelle. ${\displaystyle n=\sum _{i=0}^{k-1}\left(k+1+i\right)={\frac {k\left(3k+1\right)}{2}}}$.
4. D'après les trois questions précédentes, si ${\displaystyle n}$ n'est pas un nombre pentagonal alors ${\displaystyle p_{P}(n)=p_{I}(n)}$. Si au contraire ${\displaystyle n={\frac {k\left(3k\pm 1\right)}{2}}}$ alors, en notant ${\displaystyle e}$ la partition exceptionnelle (à ${\displaystyle k}$ lignes) pour laquelle ni ${\displaystyle A}$ ni ${\displaystyle B}$ n'est autorisée, on a, pour toutes les autres, une et une seule des deux opérations autorisée, et l'opération « soit ${\displaystyle A}$, soit ${\displaystyle B}$ » est une involution de ${\displaystyle E\setminus \{e\}}$ donc par restriction (comme dans la question 1) une bijection de ${\displaystyle E_{P}\setminus \{e\}}$ dans ${\displaystyle E_{I}}$ si ${\displaystyle k}$ est pair, auquel cas on trouve ${\displaystyle p_{P}(n)-1=p_{I}(n)}$, ou une bijection de ${\displaystyle E_{P}}$ dans ${\displaystyle E_{I}\setminus \{e\}}$ si ${\displaystyle k}$ est impair, auquel cas ${\displaystyle p_{P}(n)=p_{I}(n)-1}$. Dans les deux cas, ${\displaystyle p_{P}(n)-p_{I}(n)=(-1)^{k}}$.

${\displaystyle q=X^{3},c=-1/X^{2}}$ : ${\displaystyle \left(X;X^{3}\right)_{\infty }=\left(X^{3};X^{3}\right)_{\infty }\;\left(X;X^{3}\right)_{\infty }\;\left(X^{2};X^{3}\right)_{\infty }=\sum _{n\in \mathbb {Z} }X^{3n(n+1)/2-2n}(-1)^{n}}$.

1. ${\displaystyle \prod _{n\in \mathbb {N} }\left(1+X^{2n+1}\right)=\left(-X;X^{2}\right)_{\infty }=\sum _{k\in \mathbb {N} }{\frac {X^{k(k-1)}}{\left(X^{2};X^{2}\right)_{k}}}X^{k}=\sum _{k\in \mathbb {N} }{\frac {X^{k^{2}}}{\left(1-X^{2}\right)\left(1-X^{4}\right)\dots \left(1-X^{2k}\right)}}}$ ;
2. ${\displaystyle \prod _{n\in \mathbb {N} ^{*}}\left(1+X^{2n}\right)=\left(-X^{2};X^{2}\right)_{\infty }=\sum _{k\in \mathbb {N} }{\frac {X^{k(k-1)}}{\left(X^{2};X^{2}\right)_{k}}}X^{2k}=\sum _{k\in \mathbb {N} }{\frac {X^{k(k+1)}}{\left(1-X^{2}\right)\left(1-X^{4}\right)\dots \left(1-X^{2k}\right)}}}$.

1. À gauche, ${\displaystyle (-1/c;q)_{\infty }=(1+1/c)(-q/c;q)_{\infty }}$. À droite, pour ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle q^{(-n-1)(-n)/2}c^{-n-1}=q^{n(n+1)/2}c^{-n-1}}$.
   ${\displaystyle {\frac {c^{n}+c^{-n-1}}{1+1/c}}=c^{-n}{\frac {c^{2n+1}+1}{c+1}}=c^{-n}\left(1-c+c^{2}-c^{3}+\dots +c^{2n}\right)}$.
2. ${\displaystyle q=X,c=1}$ : ${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {N} }X^{n(n+1)/2}=(X;X)_{\infty }\;(-X;X)_{\infty }\;(-X;X)_{\infty }=\left(X^{2};X^{2}\right)_{\infty }(-X;X)_{\infty }={\frac {\left(X^{2};X^{2}\right)_{\infty }}{\left(X;X^{2}\right)_{\infty }}}}$ (cf. exercice 3-2, question 1).
3. ${\displaystyle q=X,c=-1}$ : ${\displaystyle \prod _{k\in \mathbb {N} ^{*}}\left(1-X^{k}\right)^{3}=(X;X)_{\infty }^{3}=\sum _{n\in \mathbb {N} }(-1)^{n}(2n+1)X^{n(n+1)/2}}$.

Puisque la suite ${\displaystyle \left(p\left(k\right)\right)}$ est positive et croissante, ${\displaystyle F(x)\geq \sum _{k\geq n}p(k)x^{k}\geq p(n)\sum _{k\geq n}x^{k}={\frac {p(n)x^{n}}{1-x}}}$ donc

${\displaystyle \ln p(n)\leq \ln F(x)-n\ln x+\ln \left(1-x\right)<{\frac {\pi ^{2}}{6t}}+\left(n-1\right)\ln \left(1+t\right)+\ln t<{\frac {\pi ^{2}}{6t}}+\left(n-1\right)t+\ln t=:f(t)}$.

Par conséquent,

${\displaystyle \ln p(n)<\min _{t>0}f(t)\leq f\left({\frac {\pi }{\sqrt {6\left(n-1\right)}}}\right)=2\pi {\sqrt {\frac {n-1}{6}}}+\ln {\frac {\pi }{\sqrt {6\left(n-1\right)}}}<K{\sqrt {n}}+\ln {\frac {\pi }{\sqrt {6\left(n-1\right)}}}}$.

1. • ${\displaystyle B(n)}$ est le coefficient de ${\displaystyle X^{n}}$ dans ${\displaystyle \prod _{k\in \mathbb {N} ^{*} \atop k\equiv \pm 1{\bmod {3}}}\left(1+X^{k}\right)}$. C'est donc le nombre de partitions de ${\displaystyle n}$ en parties distinctes congrues à ${\displaystyle \pm 1{\bmod {3}}}$.
   • ${\displaystyle A(n)}$ est le coefficient de ${\displaystyle X^{n}}$ dans ${\displaystyle \prod _{k\in \mathbb {N} ^{*} \atop k\equiv \pm 1{\bmod {6}}}{\frac {1}{1-X^{k}}}=\prod _{k\in \mathbb {N} ^{*} \atop k\equiv \pm 1{\bmod {6}}}\sum _{m\in \mathbb {N} }X^{km}}$. C'est donc le nombre de partitions de ${\displaystyle n}$ en parties congrues à ${\displaystyle \pm 1{\bmod {6}}}$.
2. ${\displaystyle \left(-a;q\right)_{\infty }\left(a;q^{2}\right)_{\infty }\left(aq;q^{2}\right)_{\infty }=\left(-a;q\right)_{\infty }\left(a;q\right)_{\infty }=\left(a^{2};q^{2}\right)_{\infty }}$.
3. ${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {N} }B(n)X^{n}={\frac {\left(X^{2};X^{6}\right)_{\infty }}{\left(X;X^{6}\right)_{\infty }\left(X^{4};X^{6}\right)_{\infty }}}{\frac {\left(X^{4};X^{6}\right)_{\infty }}{\left(X^{2};X^{6}\right)_{\infty }\left(X^{5};X^{6}\right)_{\infty }}}=\sum _{n\in \mathbb {N} }A(n)X^{n}}$^[10].

1. 1. En prenant ${\displaystyle q=X^{5}}$ et ${\displaystyle c=-1/X^{4}}$ dans ${\displaystyle (q;q)_{\infty }\;(-cq;q)_{\infty }\;(-1/c;q)_{\infty }=\sum _{n\in \mathbb {Z} }q^{n(n+1)/2}c^{n}}$, on obtient :

      ${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{m\in \mathbb {N} ^{*}}^{\infty }\left(1-X^{5m}\right)\left(1-X^{5m-1}\right)\left(1-X^{5m-4}\right)&=(X^{5};X^{5})_{\infty }\;(X^{4};X^{5})_{\infty }\;(X;X^{5})_{\infty }\\&=\sum _{n\in \mathbb {Z} }X^{5n(n+1)/2}(-1/X^{4})^{n}\\&=\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n}X^{n(5n-3)/2}.\end{aligned}}}$

      On pourrait aussi choisir ${\displaystyle c=-1/X}$, ce qui donnerait ${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n}X^{n(5n+3)/2}}$, égale à la série précédente par changement d'indice ${\displaystyle n\mapsto -n}$.

   2. Pour ${\displaystyle q=X^{5}}$ et ${\displaystyle c=-1/X^{2}}$, l'identité du triple produit donne :

      ${\displaystyle (X^{5};X^{5})_{\infty }\;(X^{3},X^{5})_{\infty }\;(X^{2};X^{5})_{\infty }=\sum _{n\in \mathbb {Z} }X^{5n(n+1)/2-2n}(-1)^{n}}$,

      qui équivaut à l'égalité à démontrer.

2. 1. Lorsqu'on développe (par distributivité) ${\displaystyle \prod _{k\geq 1}(1+X^{k})}$, on obtient ${\displaystyle X^{n}}$ autant de fois qu'il y a de façons de choisir, dans chaque parenthèse, soit ${\displaystyle 1}$, soit ${\displaystyle X^{k}}$, de telle manière que le produit des ${\displaystyle X^{k}}$ choisis soit ${\displaystyle X^{n}}$, c'est-à-dire que ${\displaystyle n}$ soit la somme des ${\displaystyle k}$ pour lesquels c'est ${\displaystyle X^{k}}$ qui est choisi. Le coefficient de ${\displaystyle X^{n}}$ dans la série obtenue est donc le nombre de partitions de ${\displaystyle n}$ en parties distinctes.\\
   2. Lorsqu'on développe ${\displaystyle \prod _{k\geq 1}(1-X^{k})}$, on obtient bien sûr ${\displaystyle X^{n}}$ autant de fois, mais ${\displaystyle N_{+}}$ fois avec le signe + et ${\displaystyle N_{-}}$ fois avec le signe –, où ${\displaystyle N_{+}}$ est le nombre de façons de choisir ${\displaystyle -X^{k}}$ dans un nombre pair de parenthèses (et ${\displaystyle 1}$ dans les autres) et ${\displaystyle N_{-}}$ est le nombre de façons de choisir ${\displaystyle -X^{k}}$ dans un nombre impair de parenthèses (et ${\displaystyle 1}$ dans les autres), de telle manière, dans les deux cas, que ${\displaystyle n}$ soit la somme des ${\displaystyle k}$ pour lesquels c'est ${\displaystyle -X^{k}}$ qui est choisi. Le coefficient de ${\displaystyle X^{n}}$ dans la série obtenue est donc le nombre de partitions de ${\displaystyle n}$ en un nombre pair de parties distinctes moins le nombre de partitions de $n$ en un nombre impair de parties distinctes.
3. 1. Le nombre de partitions de ${\displaystyle n}$ en un nombre pair de parties distinctes congrues à ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle -1}$ ou ${\displaystyle 1{\bmod {5}}}$ moins le nombre de partitions de ${\displaystyle n}$ en un nombre impair de parties distinctes congrues à ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle -1}$ ou ${\displaystyle 1{\bmod {5}}}$ est nul, sauf si ${\displaystyle n}$ est un « nombre heptagonal généralisé », c'est-à-dire de la forme ${\displaystyle k(5k-3)/2}$ avec ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ (égal à ${\displaystyle k(5k\pm 3)/2}$ avec ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$), auquel cas cette différence vaut ${\displaystyle (-1)^{k}}$.
   2. Le nombre de partitions de ${\displaystyle n}$ en un nombre pair de parties distinctes congrues à ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle -2}$ ou ${\displaystyle 2{\bmod {5}}}$ moins le nombre de partitions de ${\displaystyle n}$ en un nombre impair de parties distinctes congrues à ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle -2}$ ou ${\displaystyle 2{\bmod {5}}}$ est nul, sauf si ${\displaystyle n}$ est de la forme ${\displaystyle k(5k+1)/2}$ avec ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ (égal à ${\displaystyle k(5k\pm 1)/2}$ avec ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$), auquel cas cette différence vaut ${\displaystyle (-1)^{k}}$.