Introduction à la logique mathématique/Quiz/Composition des opérateurs NON, ET et OU

**Composition des opérateurs NON, ET et OU**
Leçon : Introduction à la logique mathématique

Quiz n^o2
Chapitre du cours :	NON, ET, OU
Quiz de niveau 11.
Quiz préc. :	Manipulation des opérateurs NON, ET et OU
Quiz suiv. :	Manipulation des opérateurs IMPLIQUE et EQUIVALENT

NON-ET[modifier | modifier le wikicode]

1

On souhaite étudier la proposition $\lnot (A\wedge B)$ . Étudiez, en vous aidant des tables de vérité des opérateurs NON et ET, la valeur de vérité de cette proposition.

{\begin{array}{|c|c||c|}A&B&\lnot (A\wedge B)\\\hline F&F&\color {Red}{\cdots }\\V&F&\color {Red}{\cdots }\\F&V&\color {Red}{\cdots }\\V&V&\color {Red}{\cdots }\\\end{array}}

VRAI	FAUX
		Première ligne
		Deuxième ligne
		Troisième ligne
		Quatrième ligne

2

On souhaite maintenant étudier la proposition $(\lnot A)\wedge (\lnot B)$ . Étudiez, en vous aidant des tables de vérité des opérateurs NON et ET, la valeur de vérité de cette proposition.

${\begin{array}{|c|c||c|}A&B&(\lnot A)\wedge (\lnot B)\\\hline F&F&\color {Red}{\cdots }\\V&F&\color {Red}{\cdots }\\F&V&\color {Red}{\cdots }\\V&V&\color {Red}{\cdots }\\\end{array}}$

VRAI	FAUX
		Première ligne
		Deuxième ligne
		Troisième ligne
		Quatrième ligne

	Oui
	Non

L'opérateur qui à deux propositions A et B associe la proposition

\lnot (A\wedge B)

s’appelle l'opérateur NON-ET. Comme son nom l'indique, l'opérateur NON-ET est simplement la négation de l'opérateur ET.

En anglais, NON-ET se dit NAND, contraction de NOT-AND. Cet opérateur est utile car il existe un composant électronique, la porte logique NAND qui fait partie de ce que l’on appelle les « portes universelles », c'est-à-dire qu'on peut réaliser n’importe quelle fonction logique avec uniquement des portes NAND.

→

Voir le cours sur les portes logiques pour plus d'information à ce sujet.

NON-OU[modifier | modifier le wikicode]

4

On souhaite étudier la proposition $\lnot (A\vee B)$ . Étudiez, en vous aidant des tables de vérité des opérateurs NON et OU, la valeur de vérité de cette proposition.

{\begin{array}{|c|c||c|}A&B&\lnot (A\vee B)\\\hline F&F&\color {Red}{\cdots }\\V&F&\color {Red}{\cdots }\\F&V&\color {Red}{\cdots }\\V&V&\color {Red}{\cdots }\\\end{array}}

VRAI	FAUX
		Première ligne
		Deuxième ligne
		Troisième ligne
		Quatrième ligne

5

On souhaite maintenant étudier la proposition $(\lnot A)\vee (\lnot B)$ . Étudiez, en vous aidant des tables de vérité des opérateurs NON et ET, la valeur de vérité de cette proposition.

${\begin{array}{|c|c||c|}A&B&(\lnot A)\vee (\lnot B)\\\hline F&F&\color {Red}{\cdots }\\V&F&\color {Red}{\cdots }\\F&V&\color {Red}{\cdots }\\V&V&\color {Red}{\cdots }\\\end{array}}$

VRAI	FAUX
		Première ligne
		Deuxième ligne
		Troisième ligne
		Quatrième ligne

	Oui
	Non

L'opérateur qui à deux propositions A et B associe la proposition $\lnot (A\vee B)$ s’appelle l'opérateur NON-OU. Comme son nom l'indique, l'opérateur NON-OU est simplement la négation de l'opérateur OU.

En anglais, NON-OU se dit NOR, contraction de NOT-OR. Cet opérateur est utile car il existe un composant électronique, la porte logique NOR qui fait partie de ce que l’on appelle les « portes universelles », c'est-à-dire qu'on peut réaliser n’importe quelle fonction logique avec uniquement des portes NOR.

→

Voir le cours sur les portes logiques pour plus d'information à ce sujet.

Négation des ET ou OU de deux propositions

Vous venez de voir que le NON n'est distributif ni sur le ET ni sur le OU, c'est-à-dire que :

$\lnot (A\wedge B)$ et $(\lnot A)\wedge (\lnot B)$ ont des tables de vérité différentes
$\lnot (A\vee B)$ et $(\lnot A)\vee (\lnot B)$ ont des tables de vérité différentes

Quelles sont alors les règles permettant de distribuer le NON dans ces deux cas ?

Comparez cette fois-ci les tables de vérité

des propositions $\lnot (A\wedge B)$ et $(\lnot A)\vee (\lnot B)$
des propositions $\lnot (A\vee B)$ et $(\lnot A)\wedge (\lnot B)$

Déduisez-en les règles de distribution de l'opérateur NON sur les opérateurs ET et OU.

→Ces règles s'appellent les lois de De Morgan.

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