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On utilisera que la longueur d'une courbe plane paramétrée est
- .
Exercice 2-1
Soit . Calculer la longueur du cercle , paramétré par .
Solution
.
Exercice 2-2
Soit . Montrer que la longueur de l'ellipse est égale à
(il s'agit d'une intégrale elliptique, qu'on ne demande donc pas de calculer).
Solution
On procède comme dans l'exercice précédent, en paramétrant l'ellipse par .
Soit . On s'intéresse aux ellipses pour (ce sont toutes celles délimitant un domaine de même aire , cf. Exercice 3-3).
On veut montrer que celle de longueur minimale est le cercle . On note donc, pour tout :
- , avec .
- Montrer que pour tous réels positifs , la fonction
- a une dérivée seconde constamment positive.
- En déduire que .
- En déduire que .
Solution
- La fonction est de classe C∞ et (sauf dans le cas trivial ) strictement positive.
- En dérivant deux fois , on obtient (pour tout ) :
- puis
- , donc
- donc .
- D'après le théorème des accroissements finis, pour tout , il existe tel que
- et d'après la question précédente, .
- Remarque
- C'est une propriété caractéristique des fonctions dérivables convexes.
- D'après la question précédente, .
- Or (cf. question 1) ,
- en particulier ,
- donc .
Exercice 2-3
Pour , on considère la fonction .
- Dessiner sa courbe représentative .
- Calculer la longueur de cette courbe.
- Calculer la longueur de la courbe .
Solution
- Si , est un arc de parabole, d'extrémités et et de sommet . Pour , dégénère en un segment.
- .
- Sans surprise, la longueur minimale est donc .
- Pour , on effectue un changement de variable approprié :
- On peut choisir puis calculer une primitive sur de , soit en calculant d'abord une primitive de puis en intégrant par parties (cf. Intégration en mathématiques, Exercice 17-2), soit en faisant le même changement de variable que pour intégrer , suivi d'une décomposition en éléments simples :
- ce qui donne :
- Un autre changement de variable possible est (cf. Trigonométrie hyperbolique), qui donne bien sûr le même résultat :
- On peut choisir puis calculer une primitive sur de , soit en calculant d'abord une primitive de puis en intégrant par parties (cf. Intégration en mathématiques, Exercice 17-2), soit en faisant le même changement de variable que pour intégrer , suivi d'une décomposition en éléments simples :
- .
Exercice 2-4
Solution
- donc la longueur de cette courbe est
- .
- .
- donc la longueur de cette courbe est
- .
Exercice 2-5
- Déterminer la longueur de la courbe pour .
- Calculer la longueur de la néphroïde paramétrée par .
- Calculer la longueur de la courbe .
Solution
- .
- .
- .
- , .
- .
- .
- .
- .
- .
Exercice 2-6
- On considère une courbe plane définie par où est une fonction C1 sur .
Montrer que la longueur de cette courbe est . - Calculer la longueur de la courbe d'équation polaire .
- Calculer la longueur de la cardioïde d'équation polaire .
Solution
- , , .
- (pas étonnant car cette courbe est la moitié du cercle ).
- et .
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