Intégration de Riemann/Devoir/Intégrale dépendant d'un paramètre

< Intégration de Riemann < Devoir

Soient :

${\mathfrak {E}}$ l'ensemble des fonctions continues de $[0,\,\pi ]$ dans $\mathbb {R}$ ;
${\mathfrak {F}}$ l'ensemble des fonctions de $\mathbb {R} _{+}^{*}=\left]0,+\infty \right[$ dans $\mathbb {R}$ .

— Ⅰ —

Soit $I\in {\mathfrak {F}}$ définie par $I(x)=\int _{0}^{\pi }\mathrm {e} ^{-tx}\,\mathrm {d} t$ .

1° Calculer $I(x)$ (pour tout réel $x>0$ ).

2° a) Soit $g\in {\mathfrak {F}}$ définie par $g(x)=\mathrm {e} ^{\pi x}-1-\pi x$ (pour tout réel $x>0$ ).

Étudier le sens de variation de

g

; en déduire que

g>0

.

b) Étudier la variation de la fonction

I

(on ne demande pas de tracer sa courbe représentative).

— Ⅱ —

1° Soit $L:{\mathfrak {E}}\to {\mathfrak {F}}$ l'application qui, à tout élément $f$ de ${\mathfrak {E}}$ , associe la fonction $F$ définie par :

F(x)=\int _{0}^{\pi }f(t)\operatorname {e} ^{-tx}\,\mathrm {d} t

(pour tout

x>0

).

Démontrer que l'application

L

2° Pour toute fonction $f\in {\mathfrak {E}}$ dérivable et de dérivée continue, on pose :

L(f)=F

et

L(f')=F^{*}

.

Démontrer que (pour tout

x>0

) :

F^{*}(x)=\mathrm {e} ^{-\pi x}f(x)-f(0)+xF(x)

.

— Ⅲ —

Soient $f_{1},f_{2},f_{3}\in {\mathfrak {E}}$ définies par :

f_{1}(t)=1\qquad \qquad f_{2}(t)=\cos 2t\qquad \qquad f_{3}(t)=\sin 2t

.

Soit ${\mathfrak {E}}_{1}$ l'ensemble des fonctions :

af_{1}+bf_{2}+cf_{3}

pour tout triplet $(a,b,c)$ de nombres réels.

1° a) Déterminer les fonctions :

F_{1}=L(f_{1}),\qquad F_{2}=L(f_{2}),\qquad F_{3}=L(f_{3})

.

b) Soit

f

un élément de

{\mathfrak {E}}_{1}

. Calculer

F(x)

(pour tout

x>0

).

c) Démontrer que la restriction de

L

à

{\mathfrak {E}}_{1}

est injective.

2° a) Soit $f$ un élément de ${\mathfrak {E}}$ . Justifier le fait que $f\left([0,\,\pi ]\right)$ est un intervalle fermé $[m,\,M]$ , avec $m\leqslant M$ .

b) Démontrer que

mI\leqslant F\leqslant MI

.

c) En déduire que pour tout

x>0

, il existe au moins un réel

t\in [0,\,\pi ]

tel que

F(x)=f(t)I(x)

.

Calculer

t

dans le cas particulier :

f=f_{1}+f_{2}+f_{3}

et

x=2

.

Corrigé

Ⅰ – 1° $I(x)=\left[{\frac {\mathrm {e} ^{-tx}}{-x}}\right]_{0}^{\pi }={\frac {1-\mathrm {e} ^{-\pi x}}{x}}$ .

2° a) Pour tout

x>0

,

g'(x)=\pi \left(\mathrm {e} ^{\pi x}-1\right)>0

donc

g(x)>\lim _{0}g=0

.

b) Pour tout

x>0

,

I'(x)=-{\frac {\mathrm {e} ^{-\pi x}g(x)}{x^{2}}}<0

donc

I

est strictement décroissante.

\lim _{0}I=\pi \lim _{x\to 0}{\frac {\mathrm {e} ^{-\pi x}-1}{-\pi x}}=\pi \exp '(0)=\pi

et

\lim _{+\infty }I=0

.

Ⅱ – 1° Immédiat, par linéarité de l'intégrale.

2°

F^{*}(x)=\int _{0}^{\pi }f'(t)\operatorname {e} ^{-tx}\,\mathrm {d} t=\left[f(t)\operatorname {e} ^{-tx}\right]_{0}^{\pi }-\int _{0}^{\pi }f(t)\left(-x\operatorname {e} ^{-tx}\right)\,\mathrm {d} t=\mathrm {e} ^{-\pi x}f(x)-f(0)+xF(x)

.

Ⅲ – 1° a) $F_{1}=I$ (cf. Ⅰ).

f'_{3}=2f_{2}

et

f'_{2}=-2f_{3}

donc d'après Ⅱ-2,

2F_{2}(x)=\mathrm {e} ^{-\pi x}\sin 2x+xF_{3}(x)

et

-2F_{3}(x)=\mathrm {e} ^{-\pi x}\cos 2x-1+xF_{2}(x)

, donc

F_{2}(x)={\frac {x+\mathrm {e} ^{-\pi x}(2\sin 2x-x\cos 2x)}{4+x^{2}}}

et

F_{3}(x)={\frac {2-\mathrm {e} ^{-\pi x}(x\sin 2x+2\cos 2x)}{4+x^{2}}}

.

b) Si

f=af_{1}+bf_{2}+cf_{3}

alors

F=aF_{1}+bF_{2}+cF_{3}

.

c) Pour montrer que cette application linéaire est injective, il suffit de vérifier que son noyau est réduit au vecteur nul. Soit donc

f=af_{1}+bf_{2}+cf_{3}

telle que

L(f)=0

, c'est-à-dire

aF_{1}+bF_{2}+cF_{3}=0

; montrons qu'alors,

a=b=c=0

. D'abord,

a=0

(car

\lim _{0}F_{1}=\pi

et

\lim _{0}F_{2}=\lim _{0}F_{3}=0

) et il reste

bF_{2}+cF_{3}=0

. Puis,

b=0

(car

\lim _{x\to +\infty }xF_{2}(x)=1

et

\lim _{x\to +\infty }xF_{3}(x)=0

) et il reste

cF_{3}=0

donc

c=0

.

2° a)

f

est continue sur

\left[0,\pi \right]

donc d'après le théorème des bornes,

f\left(\left[0,\pi \right]\right)

est de la forme

\left[m,M\right]

.

b) Il suffit, pour

x>0

fixé, de multiplier l'encadrement

m\operatorname {\leqslant } f\leqslant M

par la fonction positive

t\mapsto \operatorname {e} ^{-tx}

et d'intégrer de

0

à

\pi

.

c) D'après Ⅰ-2.b,

I(x)>0

et d'après la question précédente,

{\frac {F(x)}{I(x)}}\in \left[m,M\right]=f\left(\left[0,\pi \right]\right)

, d'où l'existence de

t

.

F_{1}(2)=I(2)={\frac {1-\mathrm {e} ^{-2\pi }}{2}}\quad {\text{et}}\quad F_{2}(2)+F_{3}(2)={\frac {1+\mathrm {e} ^{-2\pi }(\sin 4-\cos 4)}{4}}+{\frac {1-\mathrm {e} ^{-2\pi }(\sin 4+\cos 4)}{4}}={\frac {1-\mathrm {e} ^{-2\pi }\cos 4}{2}}

.

{\begin{aligned}I(2)\left(1+\cos 2t+\sin 2t\right)=I(2)+{\frac {1-\mathrm {e} ^{-2\pi }\cos 4}{2}}&\Leftrightarrow \cos 2t+\sin 2t={\frac {1-\mathrm {e} ^{-2\pi }\cos 4}{1-\mathrm {e} ^{-2\pi }}}\\&\Leftrightarrow \cos \left(2t-{\frac {\pi }{4}}\right)={\frac {1-\mathrm {e} ^{-2\pi }\cos 4}{\left(1-\mathrm {e} ^{-2\pi }\right){\sqrt {2}}}}\\&\Leftrightarrow t={\frac {\pi }{8}}\pm {\frac {\theta }{2}},\quad {\text{pour}}\quad \theta =\arccos \left({\frac {1-\mathrm {e} ^{-2\pi }\cos 4}{\left(1-\mathrm {e} ^{-2\pi }\right){\sqrt {2}}}}\right).\end{aligned}}

Cet article est issu de Wikiversity. Le texte est sous licence Creative Commons - Attribution - Partage dans les Mêmes. Des conditions supplémentaires peuvent s'appliquer aux fichiers multimédias.