Soient ${\displaystyle p,q\in \mathbb {N} }$. Le nombre ${\displaystyle S_{p,q}}$ de surjections d'un ensemble à ${\displaystyle p}$ éléments dans un ensemble à ${\displaystyle q}$ éléments est donné par :

${\displaystyle S_{p,q}=\sum _{k=0}^{q}(-1)^{q-k}{\binom {q}{k}}k^{p}}$.

Supposons que ${\displaystyle |X|=p}$ et ${\displaystyle |Y|=q}$.

Pour tout ${\displaystyle y\in Y}$, soit ${\displaystyle A_{y}}$ l'ensemble des applications de ${\displaystyle X}$ dans ${\displaystyle Y}$ qui ne prennent jamais la valeur ${\displaystyle y}$. Une surjection de ${\displaystyle X}$ dans ${\displaystyle Y}$ est alors une application de ${\displaystyle X}$ dans ${\displaystyle Y}$ qui n'est dans aucun ${\displaystyle A_{y}}$. On a donc

${\displaystyle S_{p,q}=\left|Y^{X}\setminus \cup _{y\in Y}A_{y}\right|=q^{p}-\left|\cup _{y\in Y}A_{y}\right|}$.

Or d'après la formule du crible,

${\displaystyle \left|\cup _{y\in Y}A_{y}\right|=\sum _{k=1}^{q}(-1)^{k-1}\sum _{Z\subset Y \atop |Z|=k}\left|A_{Z}\right|}$,

où ${\displaystyle A_{Z}:=\cap _{y\in Z}A_{y}}$ est l'ensemble des applications de ${\displaystyle X}$ dans ${\displaystyle Y}$ pour lesquelles aucun élément de ${\displaystyle Z}$ n’a d'antécédent. Il y en a autant que d'applications de ${\displaystyle X}$ dans ${\displaystyle Y\setminus Z}$, c'est-à-dire :

${\displaystyle \left|A_{Z}\right|=\left(q-|Z|\right)^{p}}$

et en reportant :

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|\cup _{y\in Y}A_{y}\right|&=\sum _{k=1}^{q}(-1)^{k-1}\sum _{Z\subset Y \atop |Z|=k}(q-k)^{p}\\&=\sum _{k=1}^{q}(-1)^{k-1}(q-k)^{p}\left|\{Z\subset Y\mid |Z|=k\}\right|\\&=\sum _{k=1}^{q}(-1)^{k-1}{\binom {q}{k}}(q-k)^{p}\end{aligned}}}$

puis

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{p,q}&=q^{p}-\left|\cup _{y\in Y}A_{y}\right|\\&=q^{p}-\sum _{k=1}^{q}(-1)^{k-1}{\binom {q}{k}}(q-k)^{p}\\&=\sum _{k=0}^{q}(-1)^{k}{\binom {q}{k}}(q-k)^{p}\\&=\sum _{j=0}^{q}(-1)^{q-j}{\binom {q}{q-j}}j^{p}\\&=\sum _{j=0}^{q}(-1)^{q-j}{\binom {q}{j}}j^{p}.\end{aligned}}}$

• On trouvera une autre démonstration de ce théorème dans la leçon « Formule d'inversion de Pascal », et encore une autre dans l'exercice 4-7 de la leçon « Combinatoire ».
• Pour ${\displaystyle q=0}$, le théorème donne ${\displaystyle S_{p,0}=0^{p}}$. Effectivement, ${\displaystyle S_{0,0}=1}$ (l'unique application de ${\displaystyle \varnothing }$ dans ${\displaystyle \varnothing }$ est bien surjective), et ${\displaystyle S_{p,0}=0}$ si ${\displaystyle p>0}$ (il n'y a pas d'application d'un ensemble non vide dans ${\displaystyle \varnothing }$).
• Pour ${\displaystyle q=p}$, les surjections sont les bijections donc ${\displaystyle S_{p,p}=p!}$.
• Pour ${\displaystyle q>p}$, ${\displaystyle S_{p,q}=0}$.
• Les ${\displaystyle {\frac {S_{p,q}}{q!}}}$ sont appelés les nombres de Stirling de seconde espèce. C'est le nombre, pour un ensemble de cardinal ${\displaystyle p}$, de partitions en ${\displaystyle q}$ sous-ensembles ou, ce qui revient au même, de relations d'équivalence ayant ${\displaystyle q}$ classes.