Soient ${\displaystyle a,b\in I}$ tels que ${\displaystyle a<b}$.

• Supposons ${\displaystyle f}$ convexe.

  Soit ${\displaystyle x\in \left]a,b\right[}$. D’après l’inégalité des pentes (propriété 2), on a :

  ${\displaystyle {\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}\leqslant {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\leqslant {\frac {f(b)-f(x)}{b-x}}}$

  En faisant tendre ${\displaystyle x}$ vers ${\displaystyle a}$, on obtient :

  ${\displaystyle f'(a)\leqslant {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$

  En faisant tendre ${\displaystyle x}$ vers ${\displaystyle b}$, on obtient :

  ${\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\leqslant f'(b)}$

  Par transitivité de la relation d’ordre, on en déduit :

  ${\displaystyle f'(a)\leqslant f'(b)}$,

  ce qui montre que ${\displaystyle f'}$ est croissante.

• Supposons ${\displaystyle f'}$ croissante.

  Soit ${\displaystyle c\in \left]a,b\right[}$.

  D’après le théorème des accroissements finis, il existe ${\displaystyle a'\in \left]a,c\right[}$ et ${\displaystyle b'\in \left]c,b\right[}$ tels que

  ${\displaystyle {\frac {f(c)-f(a)}{c-a}}=f'(a')}$ et ${\displaystyle {\frac {f(b)-f(c)}{b-c}}=f'(b')}$.

  Or (par croissance de ${\displaystyle f'}$) ${\displaystyle f'(a')\leqslant f'(b')}$, ce qui se traduit par :

  ${\displaystyle {\frac {f(c)-f(a)}{c-a}}\leqslant {\frac {f(b)-f(c)}{b-c}}}$.

  La troisième inégalité des pentes est donc démontrée, ce qui prouve que ${\displaystyle f}$ est convexe.

C’est une conséquence immédiate du théorème et du fait (appliqué à ${\displaystyle f'}$) que sur un intervalle, une fonction dérivable est croissante si et seulement si sa dérivée est positive.

Pour tout ${\displaystyle b\in I}$, l’application :

${\displaystyle h_{b}:I\setminus \{b\}\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto {\frac {f(x)-f(b)}{x-b}}}$

a pour dérivée

${\displaystyle h'_{b}:I\setminus \{b\}\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto {\frac {(x-b)f'(x)-f(x)+f(b)}{(x-b)^{2}}}}$

donc cette dérivée en un point ${\displaystyle a\in I\setminus \{b\}}$ est positive si et seulement si :

${\displaystyle f(b)\geqslant f(a)+(b-a)f'(a)}$.

Par conséquent, la condition 2 (resp. 3) équivaut à la croissance de ${\displaystyle h_{b}}$ sur l'intervalle ${\displaystyle I\cap \left]-\infty ,b\right[}$ (resp. ${\displaystyle I\cap \left]b,+\infty \right[}$) pour tout ${\displaystyle b\in I}$.

D'après la propriété 3, chacune de ces deux conditions équivaut à la convexité de ${\displaystyle f}$, donc la dernière aussi.

Soient ${\displaystyle a,b\in I}$. La tangente à la courbe au point ${\displaystyle (a,f(a))}$ a pour équation :

${\displaystyle y=f(a)+(x-a)f'(a)}$.

Le point d'abscisse ${\displaystyle b}$ de cette tangente est donc en dessous du point de la courbe de même abscisse si et seulement si ${\displaystyle f(a)+(b-a)f'(a)\leqslant f(b)}$.

On conclut grâce à la propriété 12.