Fonction dérivée/Dérivées usuelles

Prérequis

Définition de la dérivée

Revoir (chapitres précédents) les définitions d'un nombre dérivé et d'une fonction dérivable et sa fonction dérivée.

Tableau récapitulatif : dérivée et opérations

Admis pour l'instant. Voir : Dérivée d'un produit et Dérivée d'un quotient.

Opération	Dérivée	Précision
$au+bv$	$au'+bv'$	$a,b\in \mathbb {R}$
$u\times v$	$u'v+uv'$
${\frac {1}{u}}$	${\frac {-u'}{u^{2}}}$	$u\neq 0$
${\frac {u}{v}}$	${\frac {u'v-uv'}{v^{2}}}$	$v\neq 0$

Dérivées des fonctions usuelles

Fonctions x ↦ xⁿ avec n ∈ Z

Le cas n = 0 se règle directement : x ↦ x⁰ est la fonction constante 1 (même au point x = 0, par convention) donc sa dérivée sur $\mathbb {R}$ est la fonction nulle.

Théorème

Soit $n\in \mathbb {Z} ^{*}$ .

La fonction $f:x\mapsto x^{n}$ est dérivable sur $\mathbb {R} ^{*}$ et pour tout $x\in \mathbb {R} ^{*}$ , $f'(x)=n\,x^{n-1}$ .

De plus, si $n\geq 0$ , $f'(0)=0$ .

Exemple de quelques dérivées de fonctions de la forme x ↦ xⁿ

Sur $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ :
- $f(x)=x=x^{1}\Rightarrow f'(x)=1x^{0}=1$ ,
- $f(x)=x^{2}\Rightarrow f'(x)=2x^{1}=2x$ ,
- $f(x)=x^{3}\Rightarrow f'(x)=3x^{2}$ ,
- $f(x)=x^{5}\Rightarrow f'(x)=5x^{4}$ ;
Sur $\mathbb {R} ^{*}$ $\R^*$ :
- $f(x)={\frac {1}{x}}=x^{-1}\Rightarrow f'(x)=-1x^{-2}=-{\frac {1}{x^{2}}}$ ,
- $f(x)={\frac {1}{x^{2}}}=x^{-2}\Rightarrow f'(x)=-2x^{-3}={\frac {-2}{x^{3}}}$ .

Démonstration pour n positif, à l'aide de la formule du binôme

Soit $(x,n)\in \mathbb {R} \times \mathbb {N} ^{*}$ .

${\frac {(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}=\left(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}h^{k-1}x^{n-k}\right)-x^{n}h^{-1}=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}h^{k-1}x^{n-k}$ .

Or :

pour $k=1$ , ${\binom {n}{k}}h^{k-1}x^{n-k}={\binom {n}{1}}h^{0}x^{n-1}=nx^{n-1}$ ;
pour $k\geq 2$ , $\lim _{h\to 0}h^{k-1}=0$ .

Donc $\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}=nx^{n-1}$ .

Démonstration pour n positif par récurrence, à l'aide de la dérivée d'un produit

Soit la propriété ${\mathcal {H}}_{n}:{\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,x^{n}=nx^{n-1}$ (sur $\mathbb {R}$ ), à démontrer pour tout $n\in \mathbb {N}$ .

Initialisation : Pour $n=0$ ,

${\begin{aligned}{\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}x^{0}={\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(1)&=0\\&=0\times x^{0-1}=0\end{aligned}}$

donc ${\mathcal {H}}_{0}$ est vraie.

Hérédité : Supposons ${\mathcal {H}}_{n}$ vraie.

${\begin{aligned}{\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}x^{n+1}&={\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(x^{n}\times x)\\&=nx^{n-1}\times x+x^{n}\times 1\;\;\;\mathrm {par} \;{\mathcal {H}}_{n}\\&=nx^{n}+x^{n}\\&=(n+1)x^{n}\end{aligned}}$

donc ${\mathcal {H}}_{n+1}$ est vraie.

Conclusion : la propriété ${\mathcal {H}}_{n}$ est vraie pour $n=0$ et est héréditaire.

Le principe de récurrence permet de conclure qu'elle est vraie pour tout $n\in \mathbb {N}$ .

On trouvera encore une autre démonstration (pour n positif) à la fin du § « Dérivée des fonctions usuelles » d'un chapitre de la leçon « Fonctions d'une variable réelle ».

Démonstration pour n négatif à partir du cas positif, à l'aide de la dérivée de l'inverse d'une fonction

Soient $n$ un entier négatif et $m$ l'entier opposé (positif). Alors, sur $\mathbb {R} ^{*}$ , $x^{n}=x^{-m}={\dfrac {1}{x^{m}}}$ et ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x^{m}\right)=mx^{m-1}$ donc

${\begin{aligned}{\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x^{n}\right)&={\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {1}{x^{m}}}\right)\\&=-{\dfrac {mx^{m-1}}{(x^{m})^{2}}}\\&=-mx^{m-1-2m}\\&=-mx^{-m-1}\\&=nx^{n-1}\end{aligned}}$

Fonction racine carrée

La fonction dérivée de la fonction racine carrée est donnée par : ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\sqrt {x}}:\left]0,+\infty \right[\to \mathbb {R} ,\;x\mapsto {1 \over 2{\sqrt {x}}}$ .

Cette propriété est démontrée dans la leçon « Fonction racine carrée ».

Remarque

Ce résultat s'écrit aussi ${\frac {\mathrm {d} x^{\frac {1}{2}}}{\mathrm {d} x}}={\frac {1}{2}}x^{-{\frac {1}{2}}}$ , ce qui prolonge la règle ${\frac {\mathrm {d} x^{n}}{\mathrm {d} x}}=nx^{n-1}$ vue précédemment pour $n$ entier.

Tableau récapitulatif des dérivées usuelles

Soient $n\in \mathbb {Z} ^{*}$ , $a\in \mathbb {R}$ et $b\in \mathbb {R}$ .

$f(x)$	$f'(x)$	Intervalle(s) de dérivabilité
$ax+b$	$a$	$\mathbb {R}$
$x^{n}$	$n\,x^{n-1}$	si $n>0:\mathbb {R}$ si $n<0:\mathbb {R} _{-}^{}$ et $\mathbb {R} _{+}^{}$
${\frac {1}{x}}$	$-{\frac {1}{x^{2}}}$	$\mathbb {R} _{-}^{}$ et $\mathbb {R} _{+}^{}$
${\sqrt {x}}$	${\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$	$\mathbb {R} _{+}^{*}$
$\cos(x)$	$-\sin(x)$	$\mathbb {R}$
$\sin(x)$	$\cos(x)$	$\mathbb {R}$
$\exp(x)$	$\exp(x)$	$\mathbb {R}$
$\ln(x)$	${\frac {1}{x}}$	$\mathbb {R} _{+}^{*}$

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