Produit scalaire
Définitions
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On appelle produit scalaire sur E toute forme bilinéaire symétrique définie positive sur E.
On appelle alors espace préhilbertien réel tout -espace vectoriel muni d'un produit scalaire.
On suppose désormais que E est un espace préhilbertien réel, c'est-à-dire on suppose avoir muni E d'un produit scalaire.
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On notera ce produit scalaire (au lieu de .
Rappel
(Cf. chapitre précédent.)
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On a égalité si et seulement si est liée.
Norme, distance
Définitions
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On définit sur E la norme préhilbertienne ,c'est-à-dire associée au produit scalaire , par .
On pourra utiliser des notions de topologie pour montrer qu'on obtient bien une norme. La norme préhilbertienne est alors appelée « norme 2 », et est notée . Le but de ce chapitre n'étant pas de faire de la topologie on s'en tiendra à la notation simple.
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Voir le cours sur les espaces vectoriels normés pour plus de détails sur les normes.
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On définit la distance d associée à la norme ||.|| comme étant l’application :
Propriétés
L'identité du parallélogramme est importante car on peut montrer qu'une norme est préhilbertienne si et seulement si elle vérifie l'identité du parallélogramme. C'est le théorème de Fréchet-von Neumann-Jordan, dont la démonstration est traitée en exercice :
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Exemples fondamentaux
Outre l'exemple du produit scalaire canonique sur , décrit dans la leçon sur les espaces euclidiens qui figure en prérequis, on peut mentionner celui sur qui n'en est qu'un cas particulier déguisé (cf. Trace et transposée de matrice/Espace euclidien sur un ensemble de matrices), mais aussi des exemples sur des espaces de dimension infinie :
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muni du produit scalaire
- La norme associée est la norme 2 :
- L'inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit :
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muni du produit scalaire
- La norme associée est la norme 2 :
- L'inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit :