Soient I et J deux intervalles réels, ϕ ∈ C¹(I, ℝ) telle que ϕ(I) ⊂ J, et f ∈ C⁰(J, ℝ). Alors :

${\displaystyle \forall \alpha ,\beta \in I\qquad \int _{\alpha }^{\beta }f\left(\phi (t)\right)\phi '(t)\,\mathrm {d} t=\int _{\phi (\alpha )}^{\phi (\beta )}f(s)\,\mathrm {d} s}$.

Soient ${\displaystyle a,b>0}$. Pour calculer l'intégrale

${\displaystyle \int _{a}^{b}{\frac {1}{1+{\sqrt {t}}}}\,\mathrm {d} t}$,

posons

${\displaystyle s=\phi (t)={\sqrt {t}}}$.

La fonction ϕ est de classe C¹ de l'intervalle I = R₊* dans J = R₊, ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ appartiennent à I. Le changement de variable est donc valide. De plus :

${\displaystyle \phi '(t)={\frac {1}{2{\sqrt {t}}}}}$.

D'après la formule du changement de variable appliquée à la fonction ${\displaystyle f(s)={\frac {2s}{1+s}}}$ (qui est bien définie et continue sur J), on a donc :

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}{\frac {1}{1+{\sqrt {t}}}}\,\mathrm {d} t&=\int _{a}^{b}{\frac {2{\sqrt {t}}}{1+{\sqrt {t}}}}\,{\frac {\mathrm {d} t}{2{\sqrt {t}}}}=\int _{\sqrt {a}}^{\sqrt {b}}{\frac {2s}{1+s}}\,\mathrm {d} s\\&=2\int _{\sqrt {a}}^{\sqrt {b}}\left(1-{\frac {1}{1+s}}\right)\mathrm {d} s=2\left[s-\ln(1+s)\right]_{\sqrt {a}}^{\sqrt {b}}\\&=2\left({\sqrt {b}}-{\sqrt {a}}-\ln {\frac {1+{\sqrt {b}}}{1+{\sqrt {a}}}}\right).\end{aligned}}}$

(Par passage à la limite, on en déduit : ${\displaystyle \int _{0}^{b}{\frac {1}{1+{\sqrt {t}}}}\,\mathrm {d} t=2\left({\sqrt {b}}-\ln(1+{\sqrt {b}})\right)}$.)

Cette condition ϕ(I) ⊂ J est indispensable.

Par exemple, en effectuant le changement de variable ${\displaystyle s=\phi (t)=\sin t}$ sans aucune précaution, on obtiendrait :

${\displaystyle \int _{\frac {\pi }{3}}^{\frac {2\pi }{3}}{\frac {t}{\sin t}}\,\mathrm {d} t=\int _{\frac {\sqrt {3}}{2}}^{\frac {\sqrt {3}}{2}}{\frac {\arcsin s}{s{\sqrt {1-s^{2}}}}}\,\mathrm {d} s=0}$,

alors qu'en réalité :

${\displaystyle \int _{\frac {\pi }{3}}^{\frac {2\pi }{3}}{\frac {t}{\sin t}}\,\mathrm {d} t>0}$, puisque c'est l'intégrale, sur un intervalle de longueur non nulle, d'une fonction continue strictement positive.