Calcul avec les nombres complexes/Opérations sous forme algébrique

Les nombres complexes respectent les règles valables pour les quatre opérations sur les nombres réels (addition, soustraction, multiplication et division).

Égalité de deux nombres complexes

Propriété

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles sont égales et leurs parties imaginaires sont égales.

Ceci signifie, pour deux nombres complexes $z_{1}=x_{1}+\mathrm {i} y_{1}$ et $z_{2}=x_{2}+\mathrm {i} y_{2}$ :

z_{1}=z_{2}

si et seulement si

{\begin{cases}x_{1}=x_{2}\\y_{1}=y_{2}\end{cases}}

Addition

Propriété

Pour additionner deux nombres complexes sous forme algébrique, on additionne :

leurs parties réelles entre elles
leurs parties imaginaires entre elles
Pour $z_{1}=x_{1}+\mathrm {i} y_{1}$ et $z_{2}=x_{2}+\mathrm {i} y_{2}$ , on a $z_{1}+z_{2}=(x_{1}+x_{2})+\mathrm {i} (y_{1}+y_{2})$

Exemples

Addition de deux nombres complexes

Soient $z_{1}=-2+5\mathrm {i}$ et $z_{2}=1-3\mathrm {i}$ .

On a :

{\begin{aligned}z_{1}+z_{2}&=(-2+5\mathrm {i} )+(1-3\mathrm {i} )\\&=(-2+1)+\mathrm {i} (5-3)\\&=-1+2\mathrm {i} .\end{aligned}}

La soustraction se fait de la même manière :

Soustraction de deux nombres complexes

Soient $z_{1}=-2+5\mathrm {i}$ et $z_{2}=1-3\mathrm {i}$ .

On a :

{\begin{aligned}z_{1}-z_{2}&=(-2+5\mathrm {i} )-(1-3\mathrm {i} )\\&=(-2-1)+\mathrm {i} (5-(-3))\\&=-3+8\mathrm {i} .\end{aligned}}

Voir les exercices sur : Additions et soustractions de nombres complexes.

Multiplication

Propriété

La multiplication de deux nombres complexes se fait en appliquant la règle de distributivité de la multiplication sur l'addition.

Pour $z_{1}=x_{1}+\mathrm {i} y_{1}$ et $z_{2}=x_{2}+\mathrm {i} y_{2}$ , on a :

z_{1}\times z_{2}=(x_{1}+\mathrm {i} y_{1})\times (x_{2}+\mathrm {i} y_{2})=(x_{1}x_{2})+(\mathrm {i} ^{2}y_{1}y_{2})+\mathrm {i} (x_{1}y_{2}+y_{1}x_{2})

.

On sait de plus que

\mathrm {i} ^{2}=-1

.

Donc

z_{1}\times z_{2}=(x_{1}x_{2})-(y_{1}y_{2})+\mathrm {i} (x_{1}y_{2}+y_{1}x_{2})

.

Cette formule n'a pas à être retenue par cœur : il est plus facile de refaire le calcul dans chaque exemple.

Exemples

Multiplication de deux nombres complexes

Soient $z_{1}=-2+5\mathrm {i}$ et $z_{2}=1-3\mathrm {i}$ .

On a

${\begin{aligned}z_{1}\times z_{2}&=(-2+5\mathrm {i} )\times (1-3\mathrm {i} )\\&=(-2\times 1)+\mathrm {i} ^{2}(5\times -3)+\mathrm {i} (-2\times -3+1\times 5)\\&=-2+15+\mathrm {i} (6+5)=13+11\mathrm {i} .\end{aligned}}$

Voir les exercices sur : Multiplications de nombres complexes.

Puissances de i

La propriété de i que nous allons voir ici est assez simple mais il ne faut pas l'oublier pour les calculs par la suite.

Sachant que $\mathrm {i} ^{2}=-1$ , voici le calcul des autres puissances de $\mathrm {i}$ :

$\mathrm {i} ^{-1}=-\mathrm {i}$ car $\mathrm {i} ^{-1}={\frac {1}{\mathrm {i} }}={\frac {\mathrm {i} }{\mathrm {i} ^{2}}}={\frac {i}{-1}}=-\mathrm {i}$
$\mathrm {i} ^{0}=+1$
$\mathrm {i} ^{1}=+\mathrm {i}$
$\mathrm {i} ^{2}=-1$
$\mathrm {i} ^{3}=i^{2}\times \mathrm {i} =-\mathrm {i}$
$\mathrm {i} ^{4}=\mathrm {i} ^{2}\times \mathrm {i} ^{2}=+1$
$\mathrm {i} ^{5}=\mathrm {i} ^{4}\times \mathrm {i} =+\mathrm {i}$
$\mathrm {i} ^{6}=\mathrm {i} ^{4}\times \mathrm {i} ^{2}=-1$

etc.

Propriété

Soit $n\in \mathbb {N}$ , et la division euclidienne de $n$ par $4$ : $n=4q+r$ .

On a : $\mathrm {i} ^{n}=\mathrm {i} ^{4q}\times \mathrm {i} ^{r}=\mathrm {i} ^{r}$

Le reste r ne peut avoir que quatre valeurs différentes (0, 1, 2 et 3) et alors $\mathrm {i} ^{n}$ ne peut avoir que quatre valeurs différentes :

$r=0\Leftrightarrow \mathrm {i} ^{n}=+1$ ;
$r=1\Leftrightarrow \mathrm {i} ^{n}=+\mathrm {i}$ ;
$r=2\Leftrightarrow \mathrm {i} ^{n}=-1$ ;
$r=3\Leftrightarrow \mathrm {i} ^{n}=-\mathrm {i}$ .

La représentation des images des puissances de i dans le plan complexe sont les quatre intersections des axes avec le cercle trigonométrique.

Division

Division de deux nombres complexes

Soient $z_{1}=-2+5\mathrm {i}$ et $z_{2}=1-3\mathrm {i}$ .

On a ${\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {-2+5\mathrm {i} }{1-3\mathrm {i} }}$

On est ici dans une impasse car il faudrait remonter i au numérateur, ou bien on peut passer en forme polaire et dans ce cas, les modules se divisent et les arguments se soustraient.

La division de deux nombres complexes sous forme algébrique utilise la notion de complexe conjugué, qui fait l’objet d'un chapitre spécifique.

Exemple de manipulation des complexes : résolution des équations du second degré

Les nombres complexes ont été inventés car ils permettent (entre autres) de résoudre toutes les équations du second degré, même celles qui ont un discriminant négatif.

Exemple

L'équation $5x^{2}+2x+1=0$ a pour discriminant : $\Delta =2^{2}-4\times 5\times 1=4-20=-16$ .

Elle n'a donc pas de solutions réelles. En revanche, en passant dans l’ensemble des nombres complexes, nous pouvons écrire que : $\Delta =-16=16i^{2}=\left(\mathrm {i} {\sqrt {16}}\right)^{2}=\left(\mathrm {i} \times {\sqrt {4^{2}}}\right)^{2}={\left(4\mathrm {i} \right)}^{2}$ .

Nous pouvons alors résoudre l'équation avec les formules habituelles : $z_{1}={\frac {-2+4\mathrm {i} }{10}}={\frac {-1+2\mathrm {i} }{5}}$ $z_{2}={\frac {-2-4\mathrm {i} }{10}}={\frac {-1-2\mathrm {i} }{5}}$

L'équation du second degré $5x^{2}+2x+1=0$ admet donc $z_{1}={\frac {-1+2\mathrm {i} }{5}}$ et $z_{2}={\frac {-1-2\mathrm {i} }{5}}$ comme solutions complexes.

Vous pouvez vous référer au cours sur les équations du second degré si nécessaire.

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