Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Sur les modules et arguments

Voir éventuellement d'autres exercices plus simples sur les modules et les arguments.

Exercice 2-1

Soient $z,u\in \mathbb {C}$ , avec $u\neq 1$ . Démontrer que ${\frac {z-u{\bar {z}}}{1-u}}$ est réel si et seulement si $|u|=1$ ou $z\in \mathbb {R}$ .

Solution

${\begin{aligned}{\frac {z-u{\bar {z}}}{1-u}}\in \mathbb {R} &\Leftrightarrow {\frac {z-u{\bar {z}}}{1-u}}={\frac {{\bar {z}}-{\bar {u}}z}{1-{\bar {u}}}}\\&\Leftrightarrow \left(z-u{\bar {z}}\right)\left(1-{\bar {u}}\right)=\left({\bar {z}}-{\bar {u}}z\right)\left(1-u\right)\\&\Leftrightarrow z-u{\bar {z}}-z{\bar {u}}+|u|^{2}{\bar {z}}={\bar {z}}-{\bar {u}}z-{\bar {z}}u+|u|^{2}z\\&\Leftrightarrow z+|u|^{2}{\bar {z}}={\bar {z}}+|u|^{2}z\\&\Leftrightarrow \left(z-{\bar {z}}\right)\left(1-|u|^{2}\right)=0\\&\Leftrightarrow z={\bar {z}}{\text{ ou }}|u|^{2}=1\\&\Leftrightarrow z\in \mathbb {R} {\text{ ou }}|u|=1.\end{aligned}}$

Exercice 2-2

$z$ et $z'$ désignent des nombres complexes, Montrer que :

|z+z'|^{2}+|z-z'|^{2}=2\left(\left|z\right|^{2}+\left|z'\right|^{2}\right)

.

Solution

${\begin{aligned}|z+z'|^{2}+|z-z'|^{2}&=\left(z+z'\right)\left({\bar {z}}+{\bar {z}}'\right)+\left(z-z'\right)\left({\bar {z}}-{\bar {z}}'\right)\\&=\left|z\right|^{2}+z{\bar {z}}'+z'{\bar {z}}+\left|z'\right|^{2}+\left|z\right|^{2}-z{\bar {z}}'-z'{\bar {z}}+\left|z'\right|^{2}\\&=2\left(\left|z\right|^{2}+\left|z'\right|^{2}\right).\end{aligned}}$
Remarque: La règle du parallélogramme (niveau 15) est la forme géométrique de cette identité.

Exercice 2-3

Déterminer les nombres complexes non nuls $z$ tels que $z$ , ${\frac {1}{z}}$ et $1+z$ aient même module.

Solution

Soient $x,y\in \mathbb {R}$ tels que $z=x+\mathrm {i} y$ .

{\begin{aligned}\left|z\right|={\frac {1}{\left|z\right|}}=\left|1+z\right|&\Leftrightarrow \left|z\right|^{2}=1{\text{ et }}\left|1+z\right|^{2}=1\\&\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=\left(x+1\right)^{2}+y^{2}=1\\&\Leftrightarrow x^{2}=\left(x+1\right)^{2}{\text{ et }}x^{2}+y^{2}=1\\&\Leftrightarrow x=-1/2{\text{ et }}y=\pm {\sqrt {3}}/2.\end{aligned}}

Exercice 2-4

Déterminer les nombres complexes $z$ tels que $z^{2}$ , $1-z$ et ${\bar {z}}$ aient même module.

Solution

Soient $x,y\in \mathbb {R}$ tels que $z=x+\mathrm {i} y$ .

{\begin{aligned}\left|z\right|^{2}=\left|{\bar {z}}\right|=\left|1-z\right|&\Leftrightarrow \left|z\right|=\left|1-z\right|=1\\&\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=\left(x-1\right)^{2}+y^{2}=1\\&\Leftrightarrow x^{2}=\left(x-1\right)^{2}{\text{ et }}x^{2}+y^{2}=1\\&\Leftrightarrow x=1/2{\text{ et }}y=\pm {\sqrt {3}}/2.\end{aligned}}

Exercice 2-5

Soit $\alpha \in \left]0,2\pi \right[$ . Calculer le module et l'argument de :

z={\frac {1+\cos \alpha +\mathrm {i} \sin \alpha }{1-\cos \alpha -\mathrm {i} \sin \alpha }}

.

Solution

{\frac {1+\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \alpha }}{1-\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \alpha }}}={\frac {\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \alpha /2}+\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \alpha /2}}{\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \alpha /2}-\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \alpha /2}}}={\frac {2\cos(\alpha /2)}{-2\mathrm {i} \sin(\alpha /2)}}=\mathrm {i} \cot(\alpha /2)

donc :

si $\alpha \in \left]0,\pi \right[$ , $\left|z\right|=\cot(\alpha /2)$ et $\arg z=\pi /2$ ;
si $\alpha \in \left]\pi ,2\pi \right[$ , $\left|z\right|=-\cot(\alpha /2)$ et $\arg z=-\pi /2$ ;
si $\alpha =\pi$ , $z=0$ .

Exercice 2-6

Calculer le module et l'argument de :

a) $1+\cos \alpha +\mathrm {i} \sin \alpha$

b) ${\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \alpha }+\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \beta }}{1+\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (\alpha +\beta )}}}$

où $\alpha$ et $\beta$ sont deux réels donnés. On donnera la condition pour que la deuxième expression soit définie.

Solution

a) $u:=1+\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \alpha }=\left(\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \alpha /2}+\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \alpha /2}\right)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \alpha /2}=2\cos(\alpha /2)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \alpha /2}$ donc :

si $\alpha \in \left]-\pi ,\pi \right[{\pmod {4\pi }}$ , $\left|u\right|=2\cos(\alpha /2)$ et $\arg u=\alpha /2{\pmod {2\pi }}$ ;
si $\alpha \in \left]\pi ,3\pi \right[{\pmod {4\pi }}$ , $\left|u\right|=-2\cos(\alpha /2)$ et $\arg u=\alpha /2+\pi {\pmod {2\pi }}$ ;
si $\alpha \equiv \pi \mod {2\pi }$ , $u=0$ .

b) $v$ est défini si $\alpha +\beta \not \equiv \pi \mod {2\pi }$ . D'après la question a),

v={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \alpha }2\cos((\beta -\alpha )/2)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (\beta -\alpha )/2}}{2\cos((\alpha +\beta )/2)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (\alpha +\beta )/2}}}={\frac {\cos((\beta -\alpha )/2)}{\cos((\alpha +\beta )/2)}}

.

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