Arithmétique/Nombres premiers

Définition

Un entier naturel $n$ est premier s'il possède exactement 2 diviseurs naturels distincts, 1 et $n$ .

ou

Un nombre est premier s'il est différent de 1 et divisible uniquement par 1 et par lui-même.

Les dix premiers nombres premiers sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 et 29.

Critère de primalité

Proposition

Si un entier naturel $n$ n'est divisible par aucun nombre premier dont le carré est inférieur ou égal à $n$ , alors $n$ est premier.

Application : tant que $q<{\sqrt {n}}$ , on tente la division de $n$ par $q$ .

Exemple d’utilisation du critère de primalité

127 est-il premier ? $11\leq {\sqrt {127}}\leq 12$

Les nombres premiers inférieurs ou égaux à 11 sont : $2,3,5,7,11$

$127=2\times 63+1$

$127=3\times 42+1$

$127=5\times 25+2$

$127=7\times 18+1$

$127=11\times 11+6$

127 n'étant divisible par aucun nombre premier inférieur ou égal à 11, on en déduit qu'il est premier.

Lemme d'Euclide

Le lemme suivant est un corollaire immédiat du théorème de Gauss.

Lemme d'Euclide

Pour tous entiers a et b, si un nombre premier p divise le produit ab, alors il divise a ou b.

Décomposition en facteurs premiers

Théorème

Tout entier $n\geq 1$ peut se décomposer en un produit de nombres premiers. Cette décomposition est unique à l’ordre des facteurs près.

On l'écrit $n=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}...p_{k}^{a_{k}}$ , où $p_{1},p_{2},...p_{k}$ sont des nombres premiers distincts et $a_{1},a_{2},\dots ,a_{k}$ des entiers naturels non nuls.

(Par convention, $1$ est le produit vide.)

Démonstration

Soit n un nombre naturel non nul. Prouvons par récurrence sur n que n est décomposable en produit de facteurs premiers. Si n est égal à 1, il est le produit de la famille vide et l'énoncé est vrai. Si n > 1, ou bien n est premier et l'énoncé est vrai, ou bien n admet un diviseur naturel n₁ distinct de 1 et de n. Alors n = n₁ n₂, où n₁ et n₂ sont des nombres naturels non nuls, tous deux < n. Par hypothèse de récurrence, n₁ et n₂ sont tous deux décomposables en produits de facteurs premiers, donc n l'est aussi.

Nous avons donc prouvé que tout nombre naturel non nul est le produit d'une famille finie de nombres premiers. Prouvons que cette famille est unique à l’ordre près. Ici encore, nous raisonnons par récurrence sur n. Soient

n=p_{1}\dots p_{r}

et

n=q_{1}\dots q_{s}

deux décompositions de n en produit de facteurs premiers. Si r = 0, alors n = 1, donc les familles $p_{1},\dots ,p_{r}$ et $q_{1},\dots ,q_{s}$ sont toutes deux vides et la thèse est vraie. Nous pouvons donc supposer $r\geq 1$ . D'après le lemme d'Euclide, $p_{r}$ divise un des nombres $q_{1},\dots ,q_{s}$ , soit $q_{j}$ . Puisque $q_{j}$ est premier, il est clair qu’il est égal à $p_{r}$ . Donc $n/p_{r}$ admet les décompositions

n/p_{r}=p_{1}\dots p_{r-1}

et

n/p_{r}=n/q_{j}=q_{1}\dots q_{j-1}q_{j+1}\dots q_{s}

.

Par hypothèse de récurrence sur n, les familles $p_{1},\dots ,p_{r-1}$ et $q_{1},\dots ,q_{j-1},q_{j+1},\dots ,q_{s}$ sont égales à l’ordre près, donc il en est de même des familles $p_{1},\dots ,p_{r}$ et $q_{1},\dots ,q_{s}$ , ce qui achève la démonstration.

Exemple

La décomposition de $360$ est $360=2^{3}\times 3^{2}\times 5^{1}$ .

Corollaire

Tout entier $n$ strictement supérieur à $1$ admet au moins un diviseur premier.

On peut choisir par exemple le plus petit facteur premier dans la décomposition de $n$ ou remarquer, plus directement que le plus petit entier strictement supérieur à $1$ divisant $n$ est premier.

Application au calcul de PGCD

Une alternative à l'algorithme d'Euclide pour calculer le PGCD de deux entiers $a,b\geq 1$ est, si l'on connait leurs décompositions respectives, de former le produit de tous les nombres premiers $p$ intervenant dans ces deux décompositions, élevé chacun à une certaine puissance : l'exposant de $p$ dans $\operatorname {pgcd} \left(a,b\right)$ est le plus petit des deux exposants de $p$ dans $a$ et dans $b$ .

Ensemble des nombres premiers

Infinitude de l'ensemble nombres premiers

Théorème

Il existe une infinité de nombres premiers.

Démonstration

« Il existe une infinité de… » signifie : pour tout entier $n$ , il en existe au moins $n$ . Contrairement à ce qui est souvent affirmé, ce n'est pas une démonstration par l'absurde mais par récurrence. L'initialisation est immédiate et pour l'hérédité, on procède comme suit.

Soient $n$ nombres premiers distincts : $p_{1},p_{2},p_{3},\dots ,p_{n}$ et soit $N$ leur produit. Alors, $N+1$ est strictement supérieur à $1$ donc (voir supra) il possède au moins un facteur premier $p$ .

Ce nombre premier $p$ est différent de $p_{1},p_{2},p_{3},\dots ,p_{n}$ car chaque $p_{j}$ , divisant $N$ et ne divisant pas $1$ , ne peut diviser $N+1$ .

Théorème des nombres premiers

Théorème

Le nombre π(x) de nombres premiers inférieurs ou égaux à x est équivalent, lorsque le réel x tend vers +∞, au quotient de x par son logarithme népérien. Soit : $\pi (x)\sim {\frac {x}{\ln(x)}}\ (x\to +\infty )$ , c'est-à-dire : $\lim _{x\to +\infty }\pi (x){\frac {\ln(x)}{x}}=1.$

Note historique

Après avoir été conjecturé dans la marge d'une table de logarithmes par Gauss en 1792 ou 1793 alors qu'il avait seulement 15 ou 16 ans, le théorème a finalement été démontré indépendamment par Hadamard et La Vallée Poussin en 1896 à l'aide de méthodes d'analyse complexe, utilisant en particulier la fonction ζ (zêta) de Riemann.

Lien externe

https://oeis.org/A000040 : liste des premiers nombres premiers et leurs propriétés (en anglais)

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