Définition

Définition

On appelle suite arithmético-géométrique toute suite ${\displaystyle (u_{n})}$ vérifiant une relation de la forme :

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n+1}=au_{n}+b}$,

où ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ sont deux nombres fixés.

De telles suites peuvent être entièrement « résolues », c'est-à-dire que l'on sait exprimer « simplement » ${\displaystyle u_{n}}$ en fonction de ${\displaystyle n}$ (et bien sûr, de ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ et ${\displaystyle u_{0}}$).

C'est l’objet de ce chapitre.

Étude de cas particuliers

Avant de nous lancer dans la « résolution » générale, regardons quelques cas particuliers :

• si ${\displaystyle a=0}$, il s'agit d'une suite constante à partir de l'indice 1 : ${\displaystyle u_{n}=b}$ ;
• si ${\displaystyle a=1}$, il s'agit simplement d'une suite arithmétique de raison ${\displaystyle b}$, donc ${\displaystyle u_{n}=u_{0}+nb}$ ;
• si ${\displaystyle b=0}$, on a une suite géométrique, donc ${\displaystyle u_{n}=u_{0}a^{n}}$.

L'idée, dans un premier temps, va être d'observer ce qui se passe pour les premiers termes de la suite.

Les premiers termes de la suite

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{1}&=au_{0}+b\\u_{2}&=au_{1}+b\\\ &=a\left(au_{0}+b\right)+b\\\ &=a^{2}u_{0}+ab+b\\u_{3}&=au_{2}+b\\\ &=a\left(a^{2}u_{0}+ab+b\right)+b\\\ &=a^{3}u_{0}+a^{2}b+ab+b\\u_{4}&=au_{3}+b\\\ &=a\left(a^{3}u_{0}+a^{2}b+ab+b\right)+b\\\ &=a^{4}u_{0}+a^{3}b+a^{2}b+ab+b\\\dots \end{aligned}}}$

Il semblerait bien que

${\displaystyle u_{n}=a^{n}u_{0}+a^{n-1}b+\ldots +ab+b}$.

Vérifions cette conjecture dans les cas particuliers :

• si ${\displaystyle n=0}$, notre formule devient ${\displaystyle u_{0}=a^{n}u_{0}+0}$ (une somme vide étant nulle par définition) donc elle est toujours vérifiée (y compris si ${\displaystyle a=0}$, avec la convention usuelle 0⁰ = 1) ;
• si ${\displaystyle a=0}$, elle équivaut, pour tout ${\displaystyle n>0}$, à : ${\displaystyle u_{n}=b}$ ;
• si ${\displaystyle a=1}$, elle donne :

  ${\displaystyle u_{n}=1^{n}u_{0}+1^{n-1}b+\ldots +1b+b=u_{0}+b+\ldots +b=u_{0}+nb}$ ;

• si ${\displaystyle b=0}$, elle donne bien ${\displaystyle u_{n}=a^{n}u_{0}}$.

Est-ce bon dans le cas général ?

Le cas général

Réécrivons la formule précédente sous une forme plus compacte :

${\displaystyle u_{n}=a^{n}u_{0}+a^{n-1}b+\dots +ab+b=a^{n}u_{0}+b\sum _{i=0}^{n-1}a^{i}}$

et démontrons qu'elle caractérise bien les suites arithmético-géométriques de paramètres ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$.

Théorème

Soient ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ deux nombres fixés. Une suite ${\displaystyle (u_{n})}$ vérifie

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n+1}=au_{n}+b}$

si et seulement si

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n}=a^{n}u_{0}+b\sum _{i=0}^{n-1}a^{i}}$.

Si ${\displaystyle a\neq 1}$, la somme de droite du théorème est une somme géométrique, que l’on sait donc calculer :

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}a^{i}={\frac {1-a^{n}}{1-a}}}$.

Par conséquent :

Corollaire

Soient ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ deux nombres fixés, avec ${\displaystyle a\neq 1}$. Les suites ${\displaystyle (u_{n})}$ vérifiant

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n+1}=au_{n}+b}$

sont les suites de la forme :

${\displaystyle u_{n}=a^{n}u_{0}+b\,{\frac {1-a^{n}}{1-a}}=a^{n}(u_{0}-r)+r}$, avec ${\displaystyle r={\frac {b}{1-a}}}$.

L'étude du comportement de ces suites est relativement facile à partir de cette expression.