Introduction aux suites numériques/Suites arithmétiques

Définition par récurrence

Définition

Une suite est arithmétique quand on ajoute toujours le même nombre pour passer d'un terme au suivant.

Une suite arithmétique est donc définie par :

la donnée de son premier terme u₀
une relation de récurrence de la forme :
$u_{n+1}=u_{n}+r$

Le nombre r qui permet de passer d'un terme au suivant s’appelle la raison de la suite (u_n).

Exercices d'application

Parmi les suites ci-dessous, lesquelles sont arithmétiques ? Quelle est alors leur raison ?

$u_{0}=1,~u_{1}=3,~u_{2}=5,~u_{3}=7,~u_{4}=9,~u_{5}=11,~u_{6}=13,\ldots$
2, 5, 7, 12, 19, 31, 50, 81, ...
0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, ...
7, 14, 28, 56, 112, 224, 448, ...
5, 3, 1, -1, -3, -5, -7, -9, -11, -13, ...

Solution

La première suite est de raison 2.
La seconde n’est pas arithmétique.
La troisième suite est arithmétique de raison 5.
La quatrième suite n’est pas arithmétique car chaque terme est égal au double du terme qui le précède (on dit alors qu'elle est géométrique de raison 2).
Enfin la dernière suite est arithmétique de raison -2 (en effet la raison peut être un nombre quelconque dans $\mathbb {R}$ )

Terme général d'une suite arithmétique

Pour arriver à u_n, il faut ajouter n fois la raison r au premier terme u₀

Théorème

Le terme général d'une suite arithmétique (u_n) est donné par la formule :

u_{n}=u_{0}+n\times r

Utilisation du terme général

Soit $(u_{n})$ une suite arithmétique telle que $u_{0}=-3$ et $r=3,5$ . Calculer $u_{11}$ .
Soit $(v_{n})$ une suite arithmétique telle que $v_{0}=24$ et $r=-6$ . Calculer $v_{25}$ .
Soit $(w_{n})$ une suite arithmétique telle que $w_{1}=2$ et $r=6,25$ . Calculer $w_{10}$ .
Soit $(s_{n})$ une suite arithmétique telle que $s_{15}=2$ et $r=6$ . Calculer $s_{0}$ .
Soit $(t_{n})$ une suite arithmétique telle que $t_{11}=25$ et $t_{4}=6$ . Calculer $t_{0}$ et $r$ .

Solution

$u_{11}=-3+11\times 3,5=35,5$
$v_{25}=24+-6\times 25=-126$
$w_{10}=2-6,25+6,25\times 10=58,25$
$s_{0}=2-15\times 6=-88$
$t_{11}=t_{4}+7r$ donc $r={\frac {t_{11}-t_{4}}{7}}={\frac {19}{7}}$ . De plus, $t_{0}=t_{4}-4r=6-4{\frac {19}{7}}=-{\frac {34}{7}}$ .

Somme des termes d'une suite arithmétique

Somme des premiers entiers

Comment calculer simplement ?

S=1+2+3+\ldots +98+99+100

Il suffit d’utiliser la formule :

S=1+2+3+\ldots +n={\frac {n\times (n+1)}{2}}

On trouve donc :

S=1+2+3+\ldots +98+99+100=5050

Généralisation

Théorème

La somme des (n+1) premiers termes d'une suite arithmétique est donnée par la formule :

u_{0}+u_{1}+\cdots +u_{n}={(n+1) \over 2}(u_{0}+u_{n})

La somme des termes d'une progression arithmétique est égale à la demi-somme des termes extrêmes multipliée par le nombre des termes de la suite.

Calculs de sommes

En utilisant la formule, calculer :

$S=1+3+5+7+9+\ldots +131=\ldots$
$S=7+9+11+13+\ldots +99=\ldots$

Solution

On remarque que (1,3,5...) est une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme u₀=1
- 131=u₆₅
- L'application de la formule donne alors $S=1+3+5+7+9+\ldots +131={\frac {65+1}{2}}(1+131)=4356$
On remarque que (7,9,11...) est une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme u₀=7
- 99=u₄₆
- L'application de la formule donne alors $S=7+9+\ldots +99={\frac {46+1}{2}}(7+99)=2491$

Sens de variation

Théorème

Une suite arithmétique de raison r est :

croissante si $r>0$
décroissante si $r<0$
constante si $r=0$ .

Représentation graphique et lien avec les fonctions affines

Pour une suite arithmétique de premier terme u₀ et de raison r, l’expression du terme général montre que :

si on définit la fonction affine $\scriptstyle {f(x)=r\times x+u_{0}}$ , alors $u_{n}=f(n)$ .

Théorème

Pour une suite arithmétique de premier terme u₀ et de raison r,

si on place n en abscisse et u_n en ordonnée,

les points correspondants sont alignés sur la droite représentative de la fonction affine :

f(x)=r\times x+u_{0}

Si $u_{n}$ = a + bn , alors ( $u_{n}$ ) est une suite arithmétique de raison b et de premier terme a.

Graphiques

Placer dans un repère orthogonal les 10 premiers termes de la suite arithmétique de premier terme u₀ = -3 et de raison 3,5. Quelle est l'équation de la droite sur laquelle ils sont alignés ?

Solution

L'expression explicite des termes de cette suite est pour tout $n\in \mathbb {N} ,~u_{n}=-3+3.5n$ .
Les points sont alors positionnés sur la droite d'équation $y=3.5x-3$

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